Not so much successful attempt to update equations to MathML in GAVL documentation.

Signed-off-by: Pavel Pisa <pisa@cmp.felk.cvut.cz>

diff --git a/doc/srcdoc/gavl.tmpl b/doc/srcdoc/gavl.tmpl
index 8774fff84d8094558fcdb4d308ca211057d7a8e9..e219fe42deaf85fe8504667c8ac46a99a3820637 100644 (file)
--- a/doc/srcdoc/gavl.tmpl
+++ b/doc/srcdoc/gavl.tmpl
@@ -753,6 +753,8 @@ cust2_root_t cust2_tree;</programlisting>
 </equation>
 -->
 
+<!-- mk4ht htlatex t.tex "xhtml,mathml" -->
+
  <chapter id="gavlalg">
   <title>Used Algorithms Background</title>
   <sect1><title>Tree Balancing Operations</title>
@@ -767,47 +769,80 @@ cust2_root_t cust2_tree;</programlisting>
    <inlineequation>
     <alt>$\textrm{X}$
     </alt>
+    <mml:math display="inline" >
+      <mml:mstyle class="mbox"><mml:mtext class="textrm" mathvariant="normal" >X</mml:mtext></mml:mstyle>
+    </mml:math>
+    <!--
     <inlinemediaobject>
      <imageobject>
       <imagedata fileref="img/gavl_eq1.gif" format="GIF"/>
      </imageobject>
     </inlinemediaobject>
+    -->
    </inlineequation>. The height of subtree starting at 
    <inlineequation>
     <alt>$\textrm{X}$
     </alt>
+    <mml:math display="inline" >
+      <mml:mstyle class="mbox"><mml:mtext class="textrm" mathvariant="normal" >X</mml:mtext></mml:mstyle>
+    </mml:math>
+    <!--
     <inlinemediaobject>
      <imageobject>
       <imagedata fileref="img/gavl_eq1.gif" format="GIF"/>
      </imageobject>
     </inlinemediaobject>
+    -->
    </inlineequation> is labeled as 
    <inlineequation>
     <alt>$x=height(\textrm{X})$
     </alt>
-    <inlinemediaobject>
+    <mml:math display="inline" ><mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo class="MathClass-rel">=</mml:mo> <mml:mi>height</mml:mi><mml:mrow >
+      <mml:mo class="MathClass-open">(</mml:mo><mml:mrow><mml:mstyle class="mbox"><mml:mtext class="textrm" mathvariant="normal" >X</mml:mtext>
+      </mml:mstyle></mml:mrow><mml:mo class="MathClass-close">)</mml:mo></mml:mrow>
+    </mml:math>
+    <!-- <inlinemediaobject>
      <imageobject>
       <imagedata fileref="img/gavl_eq1.gif" format="GIF"/>
      </imageobject>
-    </inlinemediaobject>
+    </inlinemediaobject> -->
    </inlineequation>. Height difference (balance factor) for node 
    <inlineequation>
     <alt>$\textrm{X}$
     </alt>
+    <mml:math display="inline" >
+      <mml:mstyle class="mbox"><mml:mtext class="textrm" mathvariant="normal" >X</mml:mtext></mml:mstyle>
+    </mml:math>
+    <!--
     <inlinemediaobject>
      <imageobject>
       <imagedata fileref="img/gavl_eq1.gif" format="GIF"/>
      </imageobject>
     </inlinemediaobject>
+    -->
    </inlineequation> is labeled as 
    <inlineequation>
     <alt>$\Delta x=height(left(\textrm{X}))-height(right(\textrm{X}))$
     </alt>
+    <mml:math display="inline" ><mml:mi>&#x0394;</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo class="MathClass-rel">=</mml:mo>
+      <mml:mi>height</mml:mi><mml:mrow ><mml:mo class="MathClass-open">(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>left</mml:mi>
+      <mml:mrow ><mml:mo class="MathClass-open">(</mml:mo><mml:mrow><mml:mstyle class="mbox"><mml:mtext
+      class="textrm" mathvariant="normal" >X</mml:mtext></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mo class="MathClass-close">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo 
+      class="MathClass-close">)</mml:mo></mml:mrow> <mml:mo class="MathClass-bin">-</mml:mo> <mml:mi 
+      >height</mml:mi><mml:mrow ><mml:mo 
+      class="MathClass-open">(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>right</mml:mi><mml:mrow ><mml:mo 
+      class="MathClass-open">(</mml:mo><mml:mrow><mml:mstyle 
+      class="mbox"><mml:mtext class="textrm" mathvariant="normal" >X</mml:mtext></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mo 
+      class="MathClass-close">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo 
+      class="MathClass-close">)</mml:mo></mml:mrow>
+    </mml:math>
+    <!--
     <inlinemediaobject>
      <imageobject>
       <imagedata fileref="img/gavl_eq1.gif" format="GIF"/>
      </imageobject>
     </inlinemediaobject>
+    -->
    </inlineequation>.
   </para>
  <sect2>
@@ -843,20 +878,55 @@ cust2_root_t cust2_tree;</programlisting>
 \end{eqnarray*}
 
     </alt>
+    <mml:math display="block" >
+      <mml:mtable 
+      class="eqnarray-star" columnalign="right center left" >
+      <mml:mtr><mml:mtd 
+      class="eqnarray-1"> <mml:mi 
+      >&#x0394;</mml:mi><mml:mi 
+      >s</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-2">   <mml:mo 
+      class="MathClass-rel">=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-3">   <mml:mi 
+      >n</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">-</mml:mo> <mml:mi 
+      >b</mml:mi><mml:mspace width="2em" class="qquad"/> <mml:mo 
+      class="MathClass-rel">&#x2265;</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-4"> <mml:mtext class="eqnarray"></mml:mtext></mml:mtd>
+      </mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd 
+      class="eqnarray-1"> <mml:mi 
+      >&#x0394;</mml:mi><mml:mi 
+      >n</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-2">   <mml:mo 
+      class="MathClass-rel">=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-3">   <mml:mi 
+      >a</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">-</mml:mo> <mml:mi 
+      >p</mml:mi><mml:mspace width="2em" class="qquad"/> <mml:mo 
+      class="MathClass-rel">&#x2265;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-4"> <mml:mtext class="eqnarray"></mml:mtext></mml:mtd>                                                     </mml:mtr></mml:mtable>
+    </mml:math>
+    <!--
     <mediaobject>
      <imageobject>
       <imagedata fileref="img/gavl_eq1.gif" format="GIF"/>
      </imageobject>
     </mediaobject>
+    -->
    </equation> The height of subtree 
    <inlineequation>
     <alt>$\textrm{S}$
     </alt>
+    <mml:math display="inline" >
+      <mml:mstyle class="mbox"><mml:mtext class="textrm" mathvariant="normal" >S</mml:mtext></mml:mstyle>
+    </mml:math>
+    <!--
     <inlinemediaobject>
      <imageobject>
       <imagedata fileref="img/gavl_eq1.gif" format="GIF"/>
      </imageobject>
     </inlinemediaobject>
+    -->
    </inlineequation> is defined by highest branch, which is branch grovinggrowing from node 
    <inlineequation>
     <alt>$\textrm{A}$
@@ -876,47 +946,110 @@ b &#38; = &#38; a+1-\Delta s
 \end{eqnarray*}
 
     </alt>
+    <mml:math display="block" >
+      <mml:mtable 
+      class="eqnarray-star" columnalign="right center left" >
+      <mml:mtr><mml:mtd 
+      class="eqnarray-1"> <mml:mi 
+      >n</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-2">   <mml:mo 
+      class="MathClass-rel">=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-3">   <mml:mi 
+      >a</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn>      </mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-4"> <mml:mtext class="eqnarray"></mml:mtext></mml:mtd>
+      </mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd 
+      class="eqnarray-1"> <mml:mi 
+      >s</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-2">   <mml:mo 
+      class="MathClass-rel">=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-3">   <mml:mi 
+      >a</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">+</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn>      </mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-4"> <mml:mtext class="eqnarray"></mml:mtext></mml:mtd>
+      </mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd 
+      class="eqnarray-1"> <mml:mi 
+      >p</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-2">   <mml:mo 
+      class="MathClass-rel">=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-3">   <mml:mi 
+      >a</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">-</mml:mo> <mml:mi 
+      >&#x0394;</mml:mi><mml:mi 
+      >n</mml:mi>    </mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-4"> <mml:mtext class="eqnarray"></mml:mtext></mml:mtd>
+      </mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd 
+      class="eqnarray-1"> <mml:mi 
+      >b</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-2">   <mml:mo 
+      class="MathClass-rel">=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-3">   <mml:mi 
+      >a</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">-</mml:mo> <mml:mi 
+      >&#x0394;</mml:mi><mml:mi 
+      >s</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-4"> <mml:mtext class="eqnarray"></mml:mtext></mml:mtd>                                                      </mml:mtr></mml:mtable>
+    </mml:math>
+    <!--
     <mediaobject>
      <imageobject>
       <imagedata fileref="img/gavl_eq1.gif" format="GIF"/>
      </imageobject>
     </mediaobject>
+    -->
    </equation>The height of branches 
    <inlineequation>
     <alt>$\textrm{N}$
     </alt>
+    <mml:math display="inline" >
+      <mml:mstyle class="mbox"><mml:mtext class="textrm" mathvariant="normal" >N</mml:mtext></mml:mstyle>
+    </mml:math>
+    <!--
     <inlinemediaobject>
      <imageobject>
       <imagedata fileref="img/gavl_eq1.gif" format="GIF"/>
      </imageobject>
     </inlinemediaobject>
+    -->
    </inlineequation> and 
    <inlineequation>
     <alt>$\textrm{S}$
     </alt>
+    <mml:math display="inline" >
+      <mml:mstyle class="mbox"><mml:mtext class="textrm" mathvariant="normal" >S</mml:mtext></mml:mstyle>
+    </mml:math>
+    <!--
     <inlinemediaobject>
      <imageobject>
       <imagedata fileref="img/gavl_eq1.gif" format="GIF"/>
      </imageobject>
     </inlinemediaobject>
+    -->
    </inlineequation> is marked as 
    <inlineequation>
     <alt>$n1$
     </alt>
+    <mml:math display="inline" ><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:math>
+    <!--
     <inlinemediaobject>
      <imageobject>
       <imagedata fileref="img/gavl_eq1.gif" format="GIF"/>
      </imageobject>
     </inlinemediaobject>
+    -->
    </inlineequation> and 
    <inlineequation>
     <alt>$s1$
     </alt>
+    <mml:math display="inline" ><mml:mi>s</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:math>
+    <!--
     <inlinemediaobject>
      <imageobject>
       <imagedata fileref="img/gavl_eq1.gif" format="GIF"/>
      </imageobject>
     </inlinemediaobject>
+    -->
    </inlineequation> after balancing.
    <equation>
     <alt>\begin{eqnarray*}
@@ -925,11 +1058,39 @@ b &#38; = &#38; a+1-\Delta s
 \end{eqnarray*}
 
     </alt>
+    <mml:math display="block" >
+      <mml:mtable 
+      class="eqnarray-star" columnalign="right center left" >
+      <mml:mtr><mml:mtd 
+      class="eqnarray-1"> <mml:mi 
+      >&#x0394;</mml:mi><mml:mi 
+      >s</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-2">   <mml:mo 
+      class="MathClass-rel">=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-3">   <mml:mi 
+      >p</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">-</mml:mo> <mml:mi 
+      >b</mml:mi> </mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-4"> <mml:mtext class="eqnarray"></mml:mtext></mml:mtd>
+      </mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd 
+      class="eqnarray-1"> <mml:mi 
+      >&#x0394;</mml:mi><mml:mi 
+      >n</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-2">   <mml:mo 
+      class="MathClass-rel">=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-3">   <mml:mi 
+      >a</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">-</mml:mo> <mml:mi 
+      >s</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-4"> <mml:mtext class="eqnarray"></mml:mtext></mml:mtd>                                                       </mml:mtr></mml:mtable>
+    </mml:math>
+    <!--
     <mediaobject>
      <imageobject>
       <imagedata fileref="img/gavl_eq1.gif" format="GIF"/>
      </imageobject>
     </mediaobject>
+    -->
    </equation>
    <equation>
     <alt>\begin{eqnarray*}
@@ -940,11 +1101,91 @@ s1 &#38; = &#38; a+1-\min (\Delta n,\Delta s-1)
 \end{eqnarray*}
 
     </alt>
+    <mml:math display="block" >
+      <mml:mtable 
+      class="eqnarray-star" columnalign="right center left" >
+      <mml:mtr><mml:mtd 
+      class="eqnarray-1"> <mml:mi 
+      >s</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-2">   <mml:mo 
+      class="MathClass-rel">=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-3">   <mml:mo 
+      class="MathClass-op">max</mml:mo><mml:mrow ><mml:mo 
+      class="MathClass-open">(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi 
+      >p</mml:mi><mml:mo 
+      class="MathClass-punc">,</mml:mo><mml:mi 
+      >b</mml:mi></mml:mrow><mml:mo 
+      class="MathClass-close">)</mml:mo></mml:mrow> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn>                </mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-4"> <mml:mtext class="eqnarray"></mml:mtext></mml:mtd>
+      </mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd 
+      class="eqnarray-1"> <mml:mi 
+      >s</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-2">   <mml:mo 
+      class="MathClass-rel">=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-3">   <mml:mo 
+      class="MathClass-op">max</mml:mo><mml:mrow ><mml:mo 
+      class="MathClass-open">(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi 
+      >a</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">-</mml:mo> <mml:mi 
+      >&#x0394;</mml:mi><mml:mi 
+      >n</mml:mi><mml:mo 
+      class="MathClass-punc">,</mml:mo><mml:mi 
+      >a</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">-</mml:mo> <mml:mi 
+      >&#x0394;</mml:mi><mml:mi 
+      >s</mml:mi></mml:mrow><mml:mo 
+      class="MathClass-close">)</mml:mo></mml:mrow> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-4"> <mml:mtext class="eqnarray"></mml:mtext></mml:mtd>
+      </mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd 
+      class="eqnarray-1"> <mml:mi 
+      >s</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-2">   <mml:mo 
+      class="MathClass-rel">=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-3">   <mml:mi 
+      >a</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">+</mml:mo><mml:mo 
+      class="MathClass-op"> max</mml:mo><mml:mrow ><mml:mo 
+      class="MathClass-open">(</mml:mo><mml:mrow><mml:mo 
+      class="MathClass-bin">-</mml:mo><mml:mi 
+      >&#x0394;</mml:mi><mml:mi 
+      >n</mml:mi><mml:mo 
+      class="MathClass-punc">,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">-</mml:mo> <mml:mi 
+      >&#x0394;</mml:mi><mml:mi 
+      >s</mml:mi></mml:mrow><mml:mo 
+      class="MathClass-close">)</mml:mo></mml:mrow>  </mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-4"> <mml:mtext class="eqnarray"></mml:mtext></mml:mtd>
+      </mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd 
+      class="eqnarray-1"> <mml:mi 
+      >s</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-2">   <mml:mo 
+      class="MathClass-rel">=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-3">   <mml:mi 
+      >a</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">-</mml:mo><mml:mo 
+      class="MathClass-op"> min</mml:mo><mml:mrow ><mml:mo 
+      class="MathClass-open">(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi 
+      >&#x0394;</mml:mi><mml:mi 
+      >n</mml:mi><mml:mo 
+      class="MathClass-punc">,</mml:mo> <mml:mi 
+      >&#x0394;</mml:mi><mml:mi 
+      >s</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mo 
+      class="MathClass-close">)</mml:mo></mml:mrow>    </mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-4"> <mml:mtext class="eqnarray"></mml:mtext></mml:mtd>                                   </mml:mtr></mml:mtable>
+    </mml:math>
+    <!--
     <mediaobject>
      <imageobject>
       <imagedata fileref="img/gavl_eq1.gif" format="GIF"/>
      </imageobject>
     </mediaobject>
+    -->
    </equation>
    <equation>
     <alt>\begin{eqnarray*}
@@ -959,11 +1200,121 @@ s1 &#38; = &#38; a+1-\min (\Delta n,\Delta s-1)
 \end{eqnarray*}
 
     </alt>
+    <mml:math display="block" >
+      <mml:mtable 
+      class="eqnarray-star" columnalign="right center left" >
+      <mml:mtr><mml:mtd 
+      class="eqnarray-1"> <mml:mi 
+      >&#x0394;</mml:mi><mml:mi 
+      >s</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-2">   <mml:mo 
+      class="MathClass-rel">=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-3">   <mml:mi 
+      >a</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">-</mml:mo> <mml:mi 
+      >&#x0394;</mml:mi><mml:mi 
+      >n</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">-</mml:mo> <mml:mi 
+      >a</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">+</mml:mo> <mml:mi 
+      >&#x0394;</mml:mi><mml:mi 
+      >s</mml:mi>                                                      </mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-4"> <mml:mtext class="eqnarray"></mml:mtext></mml:mtd>
+      </mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd 
+      class="eqnarray-1"> <mml:mi 
+      >&#x0394;</mml:mi><mml:mi 
+      >s</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-2">   <mml:mo 
+      class="MathClass-rel">=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-3">   <mml:mi 
+      >&#x0394;</mml:mi><mml:mi 
+      >s</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">-</mml:mo> <mml:mi 
+      >&#x0394;</mml:mi><mml:mi 
+      >n</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn>                                                              </mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-4"> <mml:mtext class="eqnarray"></mml:mtext></mml:mtd>
+      </mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd 
+      class="eqnarray-1"> <mml:mi 
+      >&#x0394;</mml:mi><mml:mi 
+      >n</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-2">   <mml:mo 
+      class="MathClass-rel">=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-3">   <mml:mi 
+      >a</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">-</mml:mo> <mml:mi 
+      >a</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">+</mml:mo><mml:mo 
+      class="MathClass-op"> min</mml:mo><mml:mrow ><mml:mo 
+      class="MathClass-open">(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi 
+      >&#x0394;</mml:mi><mml:mi 
+      >n</mml:mi><mml:mo 
+      class="MathClass-punc">,</mml:mo> <mml:mi 
+      >&#x0394;</mml:mi><mml:mi 
+      >s</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mo 
+      class="MathClass-close">)</mml:mo></mml:mrow>                                              </mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-4"> <mml:mtext class="eqnarray"></mml:mtext></mml:mtd>
+      </mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd 
+      class="eqnarray-1"> <mml:mi 
+      >&#x0394;</mml:mi><mml:mi 
+      >n</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-2">   <mml:mo 
+      class="MathClass-rel">=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-3">   <mml:mo 
+      class="MathClass-op">min</mml:mo><mml:mrow ><mml:mo 
+      class="MathClass-open">(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi 
+      >&#x0394;</mml:mi><mml:mi 
+      >n</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn><mml:mo 
+      class="MathClass-punc">,</mml:mo> <mml:mi 
+      >&#x0394;</mml:mi><mml:mi 
+      >s</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">-</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mo 
+      class="MathClass-close">)</mml:mo></mml:mrow>                                                      </mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-4"> <mml:mtext class="eqnarray"></mml:mtext></mml:mtd>
+      </mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd 
+      class="eqnarray-1"> <mml:mi 
+      >&#x0394;</mml:mi><mml:mi 
+      >n</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-2">   <mml:mo 
+      class="MathClass-rel">=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-3">   <mml:mfenced separators="" 
+      open="&#x27E8;"  close="" ><mml:mrow> <mml:mtable  style="text-align:axis"  
+      equalrows="false" equalcolumns="false" class="array"><mml:mtr><mml:mtd 
+      class="array"  columnalign="center"><mml:mi 
+      >&#x0394;</mml:mi><mml:mi 
+      >n</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="array"  columnalign="center"><mml:mspace width="2em" class="qquad"/><mml:mi 
+      >&#x0394;</mml:mi><mml:mi 
+      >s</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-rel">&#x2265;</mml:mo> <mml:mi 
+      >&#x0394;</mml:mi><mml:mi 
+      >n</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd>
+      </mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd 
+      class="array"  columnalign="center"> <mml:mi 
+      >&#x0394;</mml:mi><mml:mi 
+      >s</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">-</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mtd><mml:mtd 
+      class="array"  columnalign="center"><mml:mspace width="2em" class="qquad"/><mml:mi 
+      >&#x0394;</mml:mi><mml:mi 
+      >s</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-rel">&#x2264;</mml:mo> <mml:mi 
+      >&#x0394;</mml:mi><mml:mi 
+      >n</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr> <!--cc--></mml:mtable>                                                                        </mml:mrow></mml:mfenced></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-4"> <mml:mtext class="eqnarray"></mml:mtext></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable>
+    </mml:math>
+    <!--
     <mediaobject>
      <imageobject>
       <imagedata fileref="img/gavl_eq1.gif" format="GIF"/>
      </imageobject>
-    </mediaobject>
+    </mediaobject> -->
    </equation>Because balancing in case 1 does not guarantee that new tree has lower height than original tree, it is necessary to compute tree height change (tree height lowering).
    <equation>
     <alt>\begin{eqnarray*}
@@ -979,11 +1330,145 @@ s-n1 &#38; = &#38; \left\langle \begin{array}{cc}
 \end{eqnarray*}
 
     </alt>
+    <mml:math display="block" >
+      <mml:mtable 
+      class="eqnarray-star" columnalign="right center left" >
+      <mml:mtr><mml:mtd 
+      class="eqnarray-1"> <mml:mi 
+      >s</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">-</mml:mo> <mml:mi 
+      >n</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-2">   <mml:mo 
+      class="MathClass-rel">=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-3">   <mml:mi 
+      >s</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">-</mml:mo> <mml:mrow ><mml:mo 
+      class="MathClass-open">(</mml:mo><mml:mrow><mml:mo 
+      class="MathClass-op">max</mml:mo><mml:mrow ><mml:mo 
+      class="MathClass-open">(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi 
+      >a</mml:mi><mml:mo 
+      class="MathClass-punc">,</mml:mo><mml:mi 
+      >s</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mo 
+      class="MathClass-close">)</mml:mo></mml:mrow> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mo 
+      class="MathClass-close">)</mml:mo></mml:mrow>                                                       </mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-4"> <mml:mtext class="eqnarray"></mml:mtext></mml:mtd>
+      </mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd 
+      class="eqnarray-1">       </mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-2">   <mml:mo 
+      class="MathClass-rel">=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-3">   <mml:mi 
+      >a</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">+</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">-</mml:mo> <mml:mrow ><mml:mo 
+      class="MathClass-open">(</mml:mo><mml:mrow><mml:mo 
+      class="MathClass-op">max</mml:mo><mml:mrow ><mml:mo 
+      class="MathClass-open">(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi 
+      >a</mml:mi><mml:mo 
+      class="MathClass-punc">,</mml:mo><mml:mi 
+      >a</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">+</mml:mo><mml:mo 
+      class="MathClass-op"> max</mml:mo><mml:mrow ><mml:mo 
+      class="MathClass-open">(</mml:mo><mml:mrow><mml:mo 
+      class="MathClass-bin">-</mml:mo><mml:mi 
+      >&#x0394;</mml:mi><mml:mi 
+      >n</mml:mi><mml:mo 
+      class="MathClass-punc">,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">-</mml:mo> <mml:mi 
+      >&#x0394;</mml:mi><mml:mi 
+      >s</mml:mi></mml:mrow><mml:mo 
+      class="MathClass-close">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo 
+      class="MathClass-close">)</mml:mo></mml:mrow> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mo 
+      class="MathClass-close">)</mml:mo></mml:mrow>                           </mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-4"> <mml:mtext class="eqnarray"></mml:mtext></mml:mtd>
+      </mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd 
+      class="eqnarray-1">       </mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-2">   <mml:mo 
+      class="MathClass-rel">=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-3">   <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">-</mml:mo><mml:mo 
+      class="MathClass-op"> max</mml:mo><mml:mrow ><mml:mo 
+      class="MathClass-open">(</mml:mo><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo 
+      class="MathClass-punc">,</mml:mo><mml:mo 
+      class="MathClass-op"> max</mml:mo><mml:mrow ><mml:mo 
+      class="MathClass-open">(</mml:mo><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">-</mml:mo> <mml:mi 
+      >&#x0394;</mml:mi><mml:mi 
+      >n</mml:mi><mml:mo 
+      class="MathClass-punc">,</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">-</mml:mo> <mml:mi 
+      >&#x0394;</mml:mi><mml:mi 
+      >s</mml:mi></mml:mrow><mml:mo 
+      class="MathClass-close">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo 
+      class="MathClass-close">)</mml:mo></mml:mrow>                                          </mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-4"> <mml:mtext class="eqnarray"></mml:mtext></mml:mtd>
+      </mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd 
+      class="eqnarray-1">       </mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-2">   <mml:mo 
+      class="MathClass-rel">=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-3">   <mml:mo 
+      class="MathClass-op">min</mml:mo><mml:mrow ><mml:mo 
+      class="MathClass-open">(</mml:mo><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo 
+      class="MathClass-punc">,</mml:mo> <mml:mi 
+      >&#x0394;</mml:mi><mml:mi 
+      >n</mml:mi><mml:mo 
+      class="MathClass-punc">,</mml:mo> <mml:mi 
+      >&#x0394;</mml:mi><mml:mi 
+      >s</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mo 
+      class="MathClass-close">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mspace width="2em" class="qquad"/><mml:mi 
+      >&#x0394;</mml:mi><mml:mi 
+      >n</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-rel">&#x2265;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn><mml:mo 
+      class="MathClass-punc">,</mml:mo> <mml:mi 
+      >&#x0394;</mml:mi><mml:mi 
+      >s</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-rel">&#x2265;</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn>                                         </mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-4"> <mml:mtext class="eqnarray"></mml:mtext></mml:mtd>
+      </mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd 
+      class="eqnarray-1">       </mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-2">   <mml:mo 
+      class="MathClass-rel">=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-3">   <mml:mo 
+      class="MathClass-op">min</mml:mo><mml:mrow ><mml:mo 
+      class="MathClass-open">(</mml:mo><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo 
+      class="MathClass-punc">,</mml:mo> <mml:mi 
+      >&#x0394;</mml:mi><mml:mi 
+      >n</mml:mi></mml:mrow><mml:mo 
+      class="MathClass-close">)</mml:mo></mml:mrow>                                                                </mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-4"> <mml:mtext class="eqnarray"></mml:mtext></mml:mtd>
+      </mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd 
+      class="eqnarray-1"> <mml:mi 
+      >s</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">-</mml:mo> <mml:mi 
+      >n</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-2">   <mml:mo 
+      class="MathClass-rel">=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-3">   <mml:mfenced separators="" 
+      open="&#x27E8;"  close="" ><mml:mrow> <mml:mtable  style="text-align:axis"  
+      equalrows="false" equalcolumns="false" class="array"><mml:mtr><mml:mtd 
+      class="array"  columnalign="center"><mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="array"  columnalign="center"> <mml:mspace width="2em" class="qquad"/><mml:mi 
+      >&#x0394;</mml:mi><mml:mi 
+      >n</mml:mi><mml:mo 
+      class="MathClass-rel">&#x2260;</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn> </mml:mtd>
+      </mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd 
+      class="array"  columnalign="center"> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mtd><mml:mtd 
+      class="array"  columnalign="center"><mml:mspace width="2em" class="qquad"/><mml:mi 
+      >&#x0394;</mml:mi><mml:mi 
+      >n</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-rel">=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr> <!--cc--></mml:mtable>                                                                                       </mml:mrow></mml:mfenced></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-4"> <mml:mtext class="eqnarray"></mml:mtext></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable>
+    </mml:math>
+    <!--
     <mediaobject>
      <imageobject>
       <imagedata fileref="img/gavl_eq1.gif" format="GIF"/>
      </imageobject>
     </mediaobject>
+    -->
    </equation></para></sect2>
   <sect2><title>Tree Balancing Case 2</title>
    <para>
@@ -1013,38 +1498,58 @@ s-n1 &#38; = &#38; \left\langle \begin{array}{cc}
    <inlineequation>
     <alt>$\textrm{P}$
     </alt>
+    <mml:math display="inline" >
+      <mml:mstyle class="mbox"><mml:mtext class="textrm" mathvariant="normal" >P</mml:mtext></mml:mstyle>
+    </mml:math>
+    <!--
     <inlinemediaobject>
      <imageobject>
       <imagedata fileref="img/gavl_eq1.gif" format="GIF"/>
      </imageobject>
     </inlinemediaobject>
+    -->
    </inlineequation>
    <inlineequation>
     <alt>$\textrm{B}$
     </alt>
+    <mml:math display="inline" >
+      <mml:mstyle class="mbox"><mml:mtext class="textrm" mathvariant="normal" >B</mml:mtext></mml:mstyle>
+    </mml:math>
+    <!--
     <inlinemediaobject>
      <imageobject>
       <imagedata fileref="img/gavl_eq1.gif" format="GIF"/>
      </imageobject>
     </inlinemediaobject>
+    -->
    </inlineequation> or 
    <inlineequation>
     <alt>$\textrm{P}$
     </alt>
+    <mml:math display="inline" >
+      <mml:mstyle class="mbox"><mml:mtext class="textrm" mathvariant="normal" >P</mml:mtext></mml:mstyle>
+    </mml:math>
+    <!--
     <inlinemediaobject>
      <imageobject>
       <imagedata fileref="img/gavl_eq1.gif" format="GIF"/>
      </imageobject>
     </inlinemediaobject>
+    -->
    </inlineequation>
    <inlineequation>
     <alt>$\textrm{C}$
     </alt>
+    <mml:math display="inline" >
+      <mml:mstyle class="mbox"><mml:mtext class="textrm" mathvariant="normal" >C</mml:mtext></mml:mstyle>
+    </mml:math>
+    <!--
     <inlinemediaobject>
      <imageobject>
       <imagedata fileref="img/gavl_eq1.gif" format="GIF"/>
      </imageobject>
     </inlinemediaobject>
+    -->
    </inlineequation>.
    <equation>
     <alt>\begin{eqnarray*}
@@ -1053,11 +1558,42 @@ s-n1 &#38; = &#38; \left\langle \begin{array}{cc}
 \end{eqnarray*}
 
     </alt>
+    <mml:math display="block" >
+      <mml:mtable 
+      class="eqnarray-star" columnalign="right center left" >
+      <mml:mtr><mml:mtd 
+      class="eqnarray-1"> <mml:mi 
+      >&#x0394;</mml:mi><mml:mi 
+      >s</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-2">   <mml:mo 
+      class="MathClass-rel">=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-3">   <mml:mi 
+      >n</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">-</mml:mo> <mml:mi 
+      >d</mml:mi><mml:mspace width="2em" class="qquad"/> <mml:mo 
+      class="MathClass-rel">&#x2265;</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn>  </mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-4"> <mml:mtext class="eqnarray"></mml:mtext></mml:mtd>
+      </mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd 
+      class="eqnarray-1"> <mml:mi 
+      >&#x0394;</mml:mi><mml:mi 
+      >n</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-2">   <mml:mo 
+      class="MathClass-rel">=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-3">   <mml:mi 
+      >a</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">-</mml:mo> <mml:mi 
+      >p</mml:mi><mml:mspace width="2em" class="qquad"/> <mml:mo 
+      class="MathClass-rel">&#x2264;</mml:mo><mml:mo 
+      class="MathClass-bin">-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-4"> <mml:mtext class="eqnarray"></mml:mtext></mml:mtd>                                                    </mml:mtr></mml:mtable>
+    </mml:math>
+    <!--
     <mediaobject>
      <imageobject>
       <imagedata fileref="img/gavl_eq1.gif" format="GIF"/>
      </imageobject>
     </mediaobject>
+    -->
    </equation>
    <equation>
     <alt>\begin{eqnarray*}
@@ -1068,11 +1604,58 @@ a &#38; = &#38; p+\Delta n
 \end{eqnarray*}
 
     </alt>
+    <mml:math display="block" >
+      <mml:mtable 
+      class="eqnarray-star" columnalign="right center left" >
+      <mml:mtr><mml:mtd 
+      class="eqnarray-1"> <mml:mi 
+      >n</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-2">   <mml:mo 
+      class="MathClass-rel">=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-3">   <mml:mi 
+      >p</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn>      </mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-4"> <mml:mtext class="eqnarray"></mml:mtext></mml:mtd>
+      </mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd 
+      class="eqnarray-1"> <mml:mi 
+      >s</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-2">   <mml:mo 
+      class="MathClass-rel">=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-3">   <mml:mi 
+      >p</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">+</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn>      </mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-4"> <mml:mtext class="eqnarray"></mml:mtext></mml:mtd>
+      </mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd 
+      class="eqnarray-1"> <mml:mi 
+      >d</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-2">   <mml:mo 
+      class="MathClass-rel">=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-3">   <mml:mi 
+      >p</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">-</mml:mo> <mml:mi 
+      >&#x0394;</mml:mi><mml:mi 
+      >s</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-4"> <mml:mtext class="eqnarray"></mml:mtext></mml:mtd>
+      </mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd 
+      class="eqnarray-1"> <mml:mi 
+      >a</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-2">   <mml:mo 
+      class="MathClass-rel">=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-3">   <mml:mi 
+      >p</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">+</mml:mo> <mml:mi 
+      >&#x0394;</mml:mi><mml:mi 
+      >n</mml:mi>    </mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-4"> <mml:mtext class="eqnarray"></mml:mtext></mml:mtd>                                                      </mml:mtr></mml:mtable>
+    </mml:math>
+    <!--
     <mediaobject>
      <imageobject>
       <imagedata fileref="img/gavl_eq1.gif" format="GIF"/>
      </imageobject>
     </mediaobject>
+    -->
    </equation>
    <equation>
     <alt>\begin{eqnarray*}
@@ -1081,74 +1664,153 @@ a &#38; = &#38; p+\Delta n
 \end{eqnarray*}
 
     </alt>
+    <mml:math display="block" >
+      <mml:mtable 
+      class="eqnarray-star" columnalign="right center left" >
+      <mml:mtr><mml:mtd 
+      class="eqnarray-1"> <mml:mstyle 
+      class="mbox"><mml:mtext class="textrm" mathvariant="normal" >for</mml:mtext></mml:mstyle><mml:mspace width="0em" class="thinspace"/><mml:mi 
+      >b</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-rel">&#x2265;</mml:mo> <mml:mi 
+      >c</mml:mi><mml:mspace width="2em" class="qquad"/><mml:mi 
+      >c</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-2">   <mml:mo 
+      class="MathClass-rel">=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-3">   <mml:mi 
+      >b</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">-</mml:mo> <mml:mi 
+      >&#x0394;</mml:mi><mml:mi 
+      >p</mml:mi><mml:mspace width="2em" class="qquad"/><mml:mi 
+      >p</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-rel">=</mml:mo> <mml:mi 
+      >b</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-4"> <mml:mtext class="eqnarray"></mml:mtext></mml:mtd>
+      </mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd 
+      class="eqnarray-1"> <mml:mstyle 
+      class="mbox"><mml:mtext class="textrm" mathvariant="normal" >for</mml:mtext></mml:mstyle><mml:mspace width="0em" class="thinspace"/><mml:mi 
+      >c</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-rel">&#x2265;</mml:mo> <mml:mi 
+      >b</mml:mi><mml:mspace width="2em" class="qquad"/><mml:mi 
+      >b</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-2">   <mml:mo 
+      class="MathClass-rel">=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-3">   <mml:mi 
+      >c</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">+</mml:mo> <mml:mi 
+      >&#x0394;</mml:mi><mml:mi 
+      >p</mml:mi><mml:mspace width="2em" class="qquad"/><mml:mi 
+      >p</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-rel">=</mml:mo> <mml:mi 
+      >c</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-4"> <mml:mtext class="eqnarray"></mml:mtext></mml:mtd>                                         </mml:mtr></mml:mtable>
+    </mml:math>
+    <!--
     <mediaobject>
      <imageobject>
       <imagedata fileref="img/gavl_eq1.gif" format="GIF"/>
      </imageobject>
     </mediaobject>
+    -->
    </equation>When 
    <inlineequation>
     <alt>$b\geq c$
     </alt>
+    <mml:math display="inline" >
+      <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mo class="MathClass-rel">&#x2265;</mml:mo> <mml:mi >c</mml:mi>
+    </mml:math>
+    <!--
     <inlinemediaobject>
      <imageobject>
       <imagedata fileref="img/gavl_eq1.gif" format="GIF"/>
      </imageobject>
     </inlinemediaobject>
+    -->
    </inlineequation> then the height differences 
    <inlineequation>
     <alt>$\Delta s1$
     </alt>
+    <mml:math display="inline" >
+      <mml:mi>&#x0394;</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn>
+    </mml:math>
+    <!--
     <inlinemediaobject>
      <imageobject>
       <imagedata fileref="img/gavl_eq1.gif" format="GIF"/>
      </imageobject>
     </inlinemediaobject>
+    -->
    </inlineequation>, 
    <inlineequation>
     <alt>$\Delta n1$
     </alt>
+    <mml:math display="inline" >
+      <mml:mi>&#x0394;</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn>
+    </mml:math>
+    <!--
     <inlinemediaobject>
      <imageobject>
       <imagedata fileref="img/gavl_eq1.gif" format="GIF"/>
      </imageobject>
     </inlinemediaobject>
+    -->
    </inlineequation> and 
    <inlineequation>
     <alt>$\Delta p1$
     </alt>
+    <mml:math display="inline" >
+      <mml:mi>&#x0394;</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn>
+    </mml:math>
+    <!--
     <inlinemediaobject>
      <imageobject>
       <imagedata fileref="img/gavl_eq1.gif" format="GIF"/>
      </imageobject>
     </inlinemediaobject>
+    -->
    </inlineequation> for nodes 
    <inlineequation>
     <alt>$\textrm{S}$
     </alt>
+    <mml:math display="inline" >
+      <mml:mstyle class="mbox"><mml:mtext class="textrm" mathvariant="normal" >S</mml:mtext></mml:mstyle>
+    </mml:math>
+    <!--
     <inlinemediaobject>
      <imageobject>
       <imagedata fileref="img/gavl_eq1.gif" format="GIF"/>
      </imageobject>
     </inlinemediaobject>
+    -->
    </inlineequation>, 
    <inlineequation>
     <alt>$\textrm{N}$
     </alt>
+    <mml:math display="inline" >
+      <mml:mstyle class="mbox"><mml:mtext class="textrm" mathvariant="normal" >N</mml:mtext></mml:mstyle>
+    </mml:math>
+    <!--
     <inlinemediaobject>
      <imageobject>
       <imagedata fileref="img/gavl_eq1.gif" format="GIF"/>
      </imageobject>
     </inlinemediaobject>
+    -->
    </inlineequation> and 
    <inlineequation>
     <alt>$\textrm{P}$
     </alt>
+    <mml:math display="inline" >
+      <mml:mstyle class="mbox"><mml:mtext class="textrm" mathvariant="normal" >S</mml:mtext></mml:mstyle>
+    </mml:math>
+    <!--
     <inlinemediaobject>
      <imageobject>
       <imagedata fileref="img/gavl_eq1.gif" format="GIF"/>
      </imageobject>
     </inlinemediaobject>
+    -->
    </inlineequation> of the balanced tree can be computed from next equations.
    <equation>
     <alt>\begin{eqnarray*}
@@ -1165,74 +1827,293 @@ s1 &#38; = &#38; \max (c,d)+1=\max (b-\Delta p,b+2-\Delta s)+1\\
 \end{eqnarray*}
 
     </alt>
+    <mml:math display="block" >
+      <mml:mtable 
+      class="eqnarray-star" columnalign="right center left" >
+      <mml:mtr><mml:mtd 
+      class="eqnarray-1"> <mml:mi 
+      >b</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-rel">&#x2265;</mml:mo> <mml:mi 
+      >c</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-2">   <mml:mo 
+      class="MathClass-punc">,</mml:mo> </mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-3">   <mml:mi 
+      >&#x0394;</mml:mi><mml:mi 
+      >p</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-rel">&#x2265;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn>                                       </mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-4"> <mml:mtext class="eqnarray"></mml:mtext></mml:mtd>
+      </mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd 
+      class="eqnarray-1">   <mml:mi 
+      >n</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-2">   <mml:mo 
+      class="MathClass-rel">=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-3">   <mml:mi 
+      >b</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn>                                         </mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-4"> <mml:mtext class="eqnarray"></mml:mtext></mml:mtd>
+      </mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd 
+      class="eqnarray-1">   <mml:mi 
+      >p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-2">   <mml:mo 
+      class="MathClass-rel">=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-3">   <mml:mi 
+      >b</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">+</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn>                                         </mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-4"> <mml:mtext class="eqnarray"></mml:mtext></mml:mtd>
+      </mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd 
+      class="eqnarray-1">    <mml:mi 
+      >s</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-2">   <mml:mo 
+      class="MathClass-rel">=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-3">   <mml:mo 
+      class="MathClass-op">max</mml:mo><mml:mrow ><mml:mo 
+      class="MathClass-open">(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi 
+      >c</mml:mi><mml:mo 
+      class="MathClass-punc">,</mml:mo><mml:mi 
+      >d</mml:mi></mml:mrow><mml:mo 
+      class="MathClass-close">)</mml:mo></mml:mrow> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo 
+      class="MathClass-rel">=</mml:mo><mml:mo 
+      class="MathClass-op"> max</mml:mo><mml:mrow ><mml:mo 
+      class="MathClass-open">(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi 
+      >b</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">-</mml:mo> <mml:mi 
+      >&#x0394;</mml:mi><mml:mi 
+      >p</mml:mi><mml:mo 
+      class="MathClass-punc">,</mml:mo><mml:mi 
+      >b</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">+</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">-</mml:mo> <mml:mi 
+      >&#x0394;</mml:mi><mml:mi 
+      >s</mml:mi></mml:mrow><mml:mo 
+      class="MathClass-close">)</mml:mo></mml:mrow> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn>  </mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-4"> <mml:mtext class="eqnarray"></mml:mtext></mml:mtd>
+      </mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd 
+      class="eqnarray-1">  <mml:mi 
+      >&#x0394;</mml:mi><mml:mi 
+      >s</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-2">   <mml:mo 
+      class="MathClass-rel">=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-3">   <mml:mi 
+      >c</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">-</mml:mo> <mml:mi 
+      >d</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-rel">=</mml:mo> <mml:mi 
+      >b</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">-</mml:mo> <mml:mi 
+      >&#x0394;</mml:mi><mml:mi 
+      >p</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">-</mml:mo> <mml:mi 
+      >b</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">-</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">+</mml:mo> <mml:mi 
+      >&#x0394;</mml:mi><mml:mi 
+      >s</mml:mi>                  </mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-4"> <mml:mtext class="eqnarray"></mml:mtext></mml:mtd>
+      </mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd 
+      class="eqnarray-1">  <mml:mi 
+      >&#x0394;</mml:mi><mml:mi 
+      >s</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-2">   <mml:mo 
+      class="MathClass-rel">=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-3">   <mml:mi 
+      >&#x0394;</mml:mi><mml:mi 
+      >s</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">-</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">-</mml:mo> <mml:mi 
+      >&#x0394;</mml:mi><mml:mi 
+      >p</mml:mi>                                  </mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-4"> <mml:mtext class="eqnarray"></mml:mtext></mml:mtd>
+      </mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd 
+      class="eqnarray-1"> <mml:mi 
+      >&#x0394;</mml:mi><mml:mi 
+      >n</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-2">   <mml:mo 
+      class="MathClass-rel">=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-3">   <mml:mi 
+      >a</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">-</mml:mo> <mml:mi 
+      >b</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-rel">=</mml:mo> <mml:mi 
+      >b</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">+</mml:mo> <mml:mi 
+      >&#x0394;</mml:mi><mml:mi 
+      >n</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">-</mml:mo> <mml:mi 
+      >b</mml:mi>                        </mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-4"> <mml:mtext class="eqnarray"></mml:mtext></mml:mtd>
+      </mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd 
+      class="eqnarray-1"> <mml:mi 
+      >&#x0394;</mml:mi><mml:mi 
+      >n</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-2">   <mml:mo 
+      class="MathClass-rel">=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-3">   <mml:mi 
+      >&#x0394;</mml:mi><mml:mi 
+      >n</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn>                                       </mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-4"> <mml:mtext class="eqnarray"></mml:mtext></mml:mtd>
+      </mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd 
+      class="eqnarray-1">  <mml:mi 
+      >&#x0394;</mml:mi><mml:mi 
+      >p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-2">   <mml:mo 
+      class="MathClass-rel">=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-3">   <mml:mi 
+      >n</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">-</mml:mo> <mml:mi 
+      >s</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo 
+      class="MathClass-rel">=</mml:mo> <mml:mi 
+      >b</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">-</mml:mo><mml:mo 
+      class="MathClass-op"> max</mml:mo><mml:mrow ><mml:mo 
+      class="MathClass-open">(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi 
+      >b</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">-</mml:mo> <mml:mi 
+      >&#x0394;</mml:mi><mml:mi 
+      >p</mml:mi><mml:mo 
+      class="MathClass-punc">,</mml:mo><mml:mi 
+      >b</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">+</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">-</mml:mo> <mml:mi 
+      >&#x0394;</mml:mi><mml:mi 
+      >s</mml:mi></mml:mrow><mml:mo 
+      class="MathClass-close">)</mml:mo></mml:mrow> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-4"> <mml:mtext class="eqnarray"></mml:mtext></mml:mtd>
+      </mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd 
+      class="eqnarray-1">  <mml:mi 
+      >&#x0394;</mml:mi><mml:mi 
+      >p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-2">   <mml:mo 
+      class="MathClass-rel">=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-3">   <mml:mo 
+      class="MathClass-op">min</mml:mo><mml:mrow ><mml:mo 
+      class="MathClass-open">(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi 
+      >&#x0394;</mml:mi><mml:mi 
+      >p</mml:mi><mml:mo 
+      class="MathClass-punc">,</mml:mo> <mml:mi 
+      >&#x0394;</mml:mi><mml:mi 
+      >s</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">-</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mo 
+      class="MathClass-close">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mspace width="2em" class="qquad"/><mml:mi 
+      >&#x0394;</mml:mi><mml:mi 
+      >p</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-rel">&#x2265;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn><mml:mo 
+      class="MathClass-punc">,</mml:mo> <mml:mi 
+      >&#x0394;</mml:mi><mml:mi 
+      >s</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-rel">&#x2265;</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn>               </mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-4"> <mml:mtext class="eqnarray"></mml:mtext></mml:mtd>               </mml:mtr></mml:mtable>
+    </mml:math>
+    <!--
     <mediaobject>
      <imageobject>
       <imagedata fileref="img/gavl_eq1.gif" format="GIF"/>
      </imageobject>
     </mediaobject>
+    -->
    </equation>When 
    <inlineequation>
     <alt>$c\geq b$
     </alt>
+    <mml:math display="inline" >
+      <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mo class="MathClass-rel">&#x2265;</mml:mo> <mml:mi>b</mml:mi>
+    </mml:math>
+    <!--
     <inlinemediaobject>
      <imageobject>
       <imagedata fileref="img/gavl_eq1.gif" format="GIF"/>
      </imageobject>
     </inlinemediaobject>
+    -->
    </inlineequation> then the height differences 
    <inlineequation>
     <alt>$\Delta s1$
     </alt>
+    <mml:math display="inline" >
+      <mml:mi>&#x0394;</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn>
+    </mml:math>
+    <!--
     <inlinemediaobject>
      <imageobject>
       <imagedata fileref="img/gavl_eq1.gif" format="GIF"/>
      </imageobject>
     </inlinemediaobject>
+    -->
    </inlineequation>, 
    <inlineequation>
     <alt>$\Delta n1$
     </alt>
+    <mml:math display="inline" >
+      <mml:mi>&#x0394;</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn>
+    </mml:math>
+    <!--
     <inlinemediaobject>
      <imageobject>
       <imagedata fileref="img/gavl_eq1.gif" format="GIF"/>
      </imageobject>
     </inlinemediaobject>
+    -->
    </inlineequation> and 
    <inlineequation>
     <alt>$\Delta p1$
     </alt>
+    <mml:math display="inline" >
+      <mml:mi>&#x0394;</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn>
+    </mml:math>
+    <!--
     <inlinemediaobject>
      <imageobject>
       <imagedata fileref="img/gavl_eq1.gif" format="GIF"/>
      </imageobject>
     </inlinemediaobject>
+    -->
    </inlineequation> for nodes 
    <inlineequation>
     <alt>$\textrm{S}$
     </alt>
+    <mml:math display="inline" >
+      <mml:mstyle class="mbox"><mml:mtext class="textrm" mathvariant="normal" >S</mml:mtext></mml:mstyle>
+    </mml:math>
+    <!--
     <inlinemediaobject>
      <imageobject>
       <imagedata fileref="img/gavl_eq1.gif" format="GIF"/>
      </imageobject>
     </inlinemediaobject>
+    -->
    </inlineequation>, 
    <inlineequation>
     <alt>$\textrm{N}$
     </alt>
+    <mml:math display="inline" >
+      <mml:mstyle class="mbox"><mml:mtext class="textrm" mathvariant="normal" >N</mml:mtext></mml:mstyle>
+    </mml:math>
+    <!--
     <inlinemediaobject>
      <imageobject>
       <imagedata fileref="img/gavl_eq1.gif" format="GIF"/>
      </imageobject>
     </inlinemediaobject>
+    -->
    </inlineequation> and 
    <inlineequation>
     <alt>$\textrm{P}$
     </alt>
+    <mml:math display="inline" >
+      <mml:mstyle class="mbox"><mml:mtext class="textrm" mathvariant="normal" >P</mml:mtext></mml:mstyle>
+    </mml:math>
+    <!--
     <inlinemediaobject>
      <imageobject>
       <imagedata fileref="img/gavl_eq1.gif" format="GIF"/>
      </imageobject>
     </inlinemediaobject>
+    -->
    </inlineequation> of the balanced tree can be computed from next equations.
    <equation>
     <alt>\begin{eqnarray*}
@@ -1249,77 +2130,414 @@ n1 &#38; = &#38; \max (a,b)+1=\max (c+1+\Delta n,c+\Delta p)+1\\
 \end{eqnarray*}
 
     </alt>
+    <mml:math display="block" >
+      <mml:mtable 
+      class="eqnarray-star" columnalign="right center left" >
+      <mml:mtr><mml:mtd 
+      class="eqnarray-1"> <mml:mi 
+      >c</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-rel">&#x2265;</mml:mo> <mml:mi 
+      >b</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-2">   <mml:mo 
+      class="MathClass-punc">,</mml:mo> </mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-3">   <mml:mi 
+      >&#x0394;</mml:mi><mml:mi 
+      >p</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-rel">&#x2264;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn>                                       </mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-4"> <mml:mtext class="eqnarray"></mml:mtext></mml:mtd>
+      </mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd 
+      class="eqnarray-1">    <mml:mi 
+      >s</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-2">   <mml:mo 
+      class="MathClass-rel">=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-3">   <mml:mi 
+      >c</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn>                                          </mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-4"> <mml:mtext class="eqnarray"></mml:mtext></mml:mtd>
+      </mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd 
+      class="eqnarray-1">   <mml:mi 
+      >p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-2">   <mml:mo 
+      class="MathClass-rel">=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-3">   <mml:mi 
+      >c</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">+</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn>                                          </mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-4"> <mml:mtext class="eqnarray"></mml:mtext></mml:mtd>
+      </mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd 
+      class="eqnarray-1">   <mml:mi 
+      >n</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-2">   <mml:mo 
+      class="MathClass-rel">=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-3">   <mml:mo 
+      class="MathClass-op">max</mml:mo><mml:mrow ><mml:mo 
+      class="MathClass-open">(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi 
+      >a</mml:mi><mml:mo 
+      class="MathClass-punc">,</mml:mo><mml:mi 
+      >b</mml:mi></mml:mrow><mml:mo 
+      class="MathClass-close">)</mml:mo></mml:mrow> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo 
+      class="MathClass-rel">=</mml:mo><mml:mo 
+      class="MathClass-op"> max</mml:mo><mml:mrow ><mml:mo 
+      class="MathClass-open">(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi 
+      >c</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">+</mml:mo> <mml:mi 
+      >&#x0394;</mml:mi><mml:mi 
+      >n</mml:mi><mml:mo 
+      class="MathClass-punc">,</mml:mo><mml:mi 
+      >c</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">+</mml:mo> <mml:mi 
+      >&#x0394;</mml:mi><mml:mi 
+      >p</mml:mi></mml:mrow><mml:mo 
+      class="MathClass-close">)</mml:mo></mml:mrow> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn>  </mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-4"> <mml:mtext class="eqnarray"></mml:mtext></mml:mtd>
+      </mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd 
+      class="eqnarray-1">  <mml:mi 
+      >&#x0394;</mml:mi><mml:mi 
+      >s</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-2">   <mml:mo 
+      class="MathClass-rel">=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-3">   <mml:mi 
+      >c</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">-</mml:mo> <mml:mi 
+      >d</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-rel">=</mml:mo> <mml:mi 
+      >c</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">-</mml:mo> <mml:mi 
+      >c</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">-</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">+</mml:mo> <mml:mi 
+      >&#x0394;</mml:mi><mml:mi 
+      >s</mml:mi>                        </mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-4"> <mml:mtext class="eqnarray"></mml:mtext></mml:mtd>
+      </mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd 
+      class="eqnarray-1">  <mml:mi 
+      >&#x0394;</mml:mi><mml:mi 
+      >s</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-2">   <mml:mo 
+      class="MathClass-rel">=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-3">   <mml:mi 
+      >&#x0394;</mml:mi><mml:mi 
+      >s</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">-</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn>                                        </mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-4"> <mml:mtext class="eqnarray"></mml:mtext></mml:mtd>
+      </mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd 
+      class="eqnarray-1"> <mml:mi 
+      >&#x0394;</mml:mi><mml:mi 
+      >n</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-2">   <mml:mo 
+      class="MathClass-rel">=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-3">   <mml:mi 
+      >a</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">-</mml:mo> <mml:mi 
+      >b</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-rel">=</mml:mo> <mml:mi 
+      >c</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">+</mml:mo> <mml:mi 
+      >&#x0394;</mml:mi><mml:mi 
+      >n</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">-</mml:mo> <mml:mi 
+      >c</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">-</mml:mo> <mml:mi 
+      >&#x0394;</mml:mi><mml:mi 
+      >p</mml:mi>                  </mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-4"> <mml:mtext class="eqnarray"></mml:mtext></mml:mtd>
+      </mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd 
+      class="eqnarray-1"> <mml:mi 
+      >&#x0394;</mml:mi><mml:mi 
+      >n</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-2">   <mml:mo 
+      class="MathClass-rel">=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-3">   <mml:mi 
+      >&#x0394;</mml:mi><mml:mi 
+      >n</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">-</mml:mo> <mml:mi 
+      >&#x0394;</mml:mi><mml:mi 
+      >p</mml:mi>                                  </mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-4"> <mml:mtext class="eqnarray"></mml:mtext></mml:mtd>
+      </mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd 
+      class="eqnarray-1">  <mml:mi 
+      >&#x0394;</mml:mi><mml:mi 
+      >p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-2">   <mml:mo 
+      class="MathClass-rel">=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-3">   <mml:mi 
+      >n</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">-</mml:mo> <mml:mi 
+      >s</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo 
+      class="MathClass-rel">=</mml:mo><mml:mo 
+      class="MathClass-op"> max</mml:mo><mml:mrow ><mml:mo 
+      class="MathClass-open">(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi 
+      >c</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">+</mml:mo> <mml:mi 
+      >&#x0394;</mml:mi><mml:mi 
+      >n</mml:mi><mml:mo 
+      class="MathClass-punc">,</mml:mo><mml:mi 
+      >c</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">+</mml:mo> <mml:mi 
+      >&#x0394;</mml:mi><mml:mi 
+      >p</mml:mi></mml:mrow><mml:mo 
+      class="MathClass-close">)</mml:mo></mml:mrow> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">-</mml:mo> <mml:mi 
+      >c</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-4"> <mml:mtext class="eqnarray"></mml:mtext></mml:mtd>
+      </mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd 
+      class="eqnarray-1">  <mml:mi 
+      >&#x0394;</mml:mi><mml:mi 
+      >p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-2">   <mml:mo 
+      class="MathClass-rel">=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-3">   <mml:mo 
+      class="MathClass-op">max</mml:mo><mml:mrow ><mml:mo 
+      class="MathClass-open">(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi 
+      >&#x0394;</mml:mi><mml:mi 
+      >n</mml:mi><mml:mo 
+      class="MathClass-punc">,</mml:mo> <mml:mi 
+      >&#x0394;</mml:mi><mml:mi 
+      >s</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mo 
+      class="MathClass-close">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mspace width="2em" class="qquad"/><mml:mi 
+      >&#x0394;</mml:mi><mml:mi 
+      >n</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-rel">&#x2264;</mml:mo><mml:mo 
+      class="MathClass-bin">-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo 
+      class="MathClass-punc">,</mml:mo> <mml:mi 
+      >&#x0394;</mml:mi><mml:mi 
+      >p</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-rel">&#x2264;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn>            </mml:mtd><mml:mtd 
+      class="eqnarray-4"> <mml:mtext class="eqnarray"></mml:mtext></mml:mtd>              </mml:mtr></mml:mtable>
+    </mml:math>
+    <!--
     <mediaobject>
      <imageobject>
       <imagedata fileref="img/gavl_eq1.gif" format="GIF"/>
      </imageobject>
     </mediaobject>
+    -->
    </equation></para></sect2>
 </sect1>
 <sect1><title>Height of the AVL Tree</title><para>Minimal number of nodes 
    <inlineequation>
     <alt>$T$
     </alt>
+    <mml:math display="inline" ><mml:mi>T</mml:mi></mml:math>
+    <!--
     <inlinemediaobject>
      <imageobject>
       <imagedata fileref="img/gavl_eq1.gif" format="GIF"/>
      </imageobject>
     </inlinemediaobject>
+    -->
    </inlineequation> can be computed recursively.
    <equation>
     <alt>\[
 T(h)=T(h-1)+T(h-2)+1,\, T(0)=0,\, T(1)=1\]
 
     </alt>
+    <mml:math display="block" ><mml:mrow>
+      <mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow ><mml:mo class="MathClass-open">(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi 
+      >h</mml:mi></mml:mrow><mml:mo 
+      class="MathClass-close">)</mml:mo></mml:mrow> <mml:mo 
+      class="MathClass-rel">=</mml:mo> <mml:mi 
+      >T</mml:mi><mml:mrow ><mml:mo 
+      class="MathClass-open">(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi 
+      >h</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mo 
+      class="MathClass-close">)</mml:mo></mml:mrow> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">+</mml:mo> <mml:mi 
+      >T</mml:mi><mml:mrow ><mml:mo 
+      class="MathClass-open">(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi 
+      >h</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">-</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mo 
+      class="MathClass-close">)</mml:mo></mml:mrow> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn><mml:mo 
+      class="MathClass-punc">,</mml:mo><mml:mspace width="0em" class="thinspace"/><mml:mi 
+      >T</mml:mi><mml:mrow ><mml:mo 
+      class="MathClass-open">(</mml:mo><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mo 
+      class="MathClass-close">)</mml:mo></mml:mrow> <mml:mo 
+      class="MathClass-rel">=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn><mml:mo 
+      class="MathClass-punc">,</mml:mo><mml:mspace width="0em" class="thinspace"/><mml:mi 
+      >T</mml:mi><mml:mrow ><mml:mo 
+      class="MathClass-open">(</mml:mo><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mo 
+      class="MathClass-close">)</mml:mo></mml:mrow> <mml:mo 
+      class="MathClass-rel">=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn>
+    </mml:mrow></mml:math>
+    <!--
     <mediaobject>
      <imageobject>
       <imagedata fileref="img/gavl_eq1.gif" format="GIF"/>
      </imageobject>
     </mediaobject>
+    -->
    </equation>1, 2, 4, 7, 12, 20, 33, 54, 88, 143, 232, 376, 609, 986</para><para>
    <equation>
     <alt>\[
 T(h)=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{(h+2)}-1\]
 
     </alt>
+    <mml:math display="block" ><mml:mrow>
+      <mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow ><mml:mo 
+      class="MathClass-open">(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi 
+      >h</mml:mi></mml:mrow><mml:mo 
+      class="MathClass-close">)</mml:mo></mml:mrow> <mml:mo 
+      class="MathClass-rel">=</mml:mo>  <mml:mfrac><mml:mrow 
+      ><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow> 
+      <mml:mrow 
+      ><mml:msqrt><mml:mrow><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:msqrt></mml:mrow></mml:mfrac><mml:msup><mml:mrow 
+      > <mml:mfenced separators="" 
+      open="("  close=")" ><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow 
+      ><mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">+</mml:mo> <mml:msqrt><mml:mrow><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:msqrt></mml:mrow>
+          <mml:mrow 
+      ><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfrac>    </mml:mrow></mml:mfenced> </mml:mrow><mml:mrow 
+      ><mml:mrow ><mml:mo 
+      class="MathClass-open">(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi 
+      >h</mml:mi><mml:mo 
+      class="MathClass-bin">+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mo 
+      class="MathClass-close">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup 
+      > <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn>
+    </mml:mrow></mml:math>
+    <!--
     <mediaobject>
      <imageobject>
       <imagedata fileref="img/gavl_eq1.gif" format="GIF"/>
      </imageobject>
     </mediaobject>
+    -->
    </equation>
    <equation>
     <alt>\[
 T(h)=\frac{1}{\sqrt{5}}\, 2^{(h+2)\, log_{2}\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}-1\]
 
     </alt>
+    <mml:math display="block" ><mml:mrow>
+      <mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow ><mml:mo 
+      class="MathClass-open">(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi 
+      >h</mml:mi></mml:mrow><mml:mo 
+      class="MathClass-close">)</mml:mo></mml:mrow> <mml:mo 
+      class="MathClass-rel">=</mml:mo>  <mml:mfrac><mml:mrow 
+      ><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow> 
+      <mml:mrow 
+      ><mml:msqrt><mml:mrow><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:msqrt></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace width="0em" class="thinspace"/><mml:msup><mml:mrow 
+      ><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow 
+      ><mml:mrow ><mml:mo 
+      class="MathClass-open">(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi 
+      >h</mml:mi><mml:mo 
+      class="MathClass-bin">+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mo 
+      class="MathClass-close">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mspace width="0em" class="thinspace"/><mml:mi 
+      >l</mml:mi><mml:mi 
+      >o</mml:mi><mml:msub><mml:mrow 
+      ><mml:mi 
+      >g</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow 
+      ><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub 
+      ><mml:mfenced separators="" 
+      open="("  close=")" ><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow 
+      ><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo 
+      class="MathClass-bin">+</mml:mo><mml:msqrt><mml:mrow><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:msqrt></mml:mrow>
+         <mml:mrow 
+      ><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfrac>    </mml:mrow></mml:mfenced>
+                               </mml:mrow></mml:msup 
+      > <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn>
+    </mml:mrow></mml:math>
+    <!--
     <mediaobject>
      <imageobject>
       <imagedata fileref="img/gavl_eq1.gif" format="GIF"/>
      </imageobject>
     </mediaobject>
+    -->
    </equation>
    <equation>
     <alt>\[
 h=\left(log_{2}(T+1)-log_{2}\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)\right)log_{2}^{-1}\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)-2\]
 
     </alt>
+    <mml:math display="block" ><mml:mrow>
+      <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-rel">=</mml:mo> <mml:mfenced separators="" 
+      open="("  close=")" ><mml:mrow><mml:mi 
+      >l</mml:mi><mml:mi 
+      >o</mml:mi><mml:msub><mml:mrow 
+      ><mml:mi 
+      >g</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow 
+      ><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub 
+      ><mml:mrow ><mml:mo 
+      class="MathClass-open">(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi 
+      >T</mml:mi> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mo 
+      class="MathClass-close">)</mml:mo></mml:mrow> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">-</mml:mo> <mml:mi 
+      >l</mml:mi><mml:mi 
+      >o</mml:mi><mml:msub><mml:mrow 
+      ><mml:mi 
+      >g</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow 
+      ><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub 
+      > <mml:mfenced separators="" 
+      open="("  close=")" ><mml:mrow>  <mml:mfrac><mml:mrow 
+      ><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow>
+      <mml:mrow 
+      ><mml:msqrt><mml:mrow><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:msqrt></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced> <mml:mi 
+      >l</mml:mi><mml:mi 
+      >o</mml:mi><mml:msubsup><mml:mrow 
+      ><mml:mi 
+      >g</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow 
+      ><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow 
+      ><mml:mo 
+      class="MathClass-bin">-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup 
+      > <mml:mfenced separators="" 
+      open="("  close=")" ><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow 
+      ><mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">+</mml:mo> <mml:msqrt><mml:mrow><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:msqrt></mml:mrow>
+          <mml:mrow 
+      ><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfrac>    </mml:mrow></mml:mfenced> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">-</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn>
+    </mml:mrow></mml:math>
+    <!--
     <mediaobject>
      <imageobject>
       <imagedata fileref="img/gavl_eq1.gif" format="GIF"/>
      </imageobject>
     </mediaobject>
+    -->
    </equation>
    <equation>
     <alt>\[
 log_{2}^{-1}\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)=1.44042\]
 
     </alt>
+    <mml:math display="block" ><mml:mrow>
+      <mml:mi 
+      >l</mml:mi><mml:mi 
+      >o</mml:mi><mml:msubsup><mml:mrow 
+      ><mml:mi 
+      >g</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow 
+      ><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow 
+      ><mml:mo 
+      class="MathClass-bin">-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup 
+      > <mml:mfenced separators="" 
+      open="("  close=")" ><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow 
+      ><mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo 
+      class="MathClass-bin">+</mml:mo> <mml:msqrt><mml:mrow><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:msqrt></mml:mrow>
+          <mml:mrow 
+      ><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfrac>    </mml:mrow></mml:mfenced> <mml:mo 
+      class="MathClass-rel">=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn><mml:mo 
+      class="MathClass-punc">.</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn><mml:mn>4</mml:mn><mml:mn>0</mml:mn><mml:mn>4</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn>
+    </mml:mrow></mml:math>
+    <!--
     <mediaobject>
      <imageobject>
       <imagedata fileref="img/gavl_eq1.gif" format="GIF"/>
      </imageobject>
     </mediaobject>
+    -->
    </equation></para><para>An AVL tree with n nodes has height between log2 (n + 1) and 1.44 * log2 (n + 2) - 0.328. An AVL tree with height h has between pow (2, (h + .328) / 1.44) - 1 and pow (2, h) - 1 nodes.</para><para>A red-black tree with n nodes has height at least log2 (n + 1) but no more than 2 * log2 (n + 1). A red-black tree with height h has at least pow (2, h / 2) - 1 nodes but no more than pow (2, h) - 1. </para>
 
 <!-- ***************************************************** -->