l4/pkg/libstdc++-v3/contrib/libstdc++-v3-4.3.3/include/tr1/ell_integral.tcc

   1 // Special functions -*- C++ -*-
   2
   3 // Copyright (C) 2006, 2007, 2008
   4 // Free Software Foundation, Inc.
   5 //
   6 // This file is part of the GNU ISO C++ Library.  This library is free
   7 // software; you can redistribute it and/or modify it under the
   8 // terms of the GNU General Public License as published by the
   9 // Free Software Foundation; either version 2, or (at your option)
  10 // any later version.
  11 //
  12 // This library is distributed in the hope that it will be useful,
  13 // but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of
  14 // MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE.  See the
  15 // GNU General Public License for more details.
  16 //
  17 // You should have received a copy of the GNU General Public License along
  18 // with this library; see the file COPYING.  If not, write to the Free
  19 // Software Foundation, 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA 02110-1301,
  20 // USA.
  21 //
  22 // As a special exception, you may use this file as part of a free software
  23 // library without restriction.  Specifically, if other files instantiate
  24 // templates or use macros or inline functions from this file, or you compile
  25 // this file and link it with other files to produce an executable, this
  26 // file does not by itself cause the resulting executable to be covered by
  27 // the GNU General Public License.  This exception does not however
  28 // invalidate any other reasons why the executable file might be covered by
  29 // the GNU General Public License.
  30
  31 /** @file tr1/ell_integral.tcc
  32  *  This is an internal header file, included by other library headers.
  33  *  You should not attempt to use it directly.
  34  */
  35
  36 //
  37 // ISO C++ 14882 TR1: 5.2  Special functions
  38 //
  39
  40 // Written by Edward Smith-Rowland based on:
  41 //   (1)  B. C. Carlson Numer. Math. 33, 1 (1979)
  42 //   (2)  B. C. Carlson, Special Functions of Applied Mathematics (1977)
  43 //   (3)  The Gnu Scientific Library, http://www.gnu.org/software/gsl
  44 //   (4)  Numerical Recipes in C, 2nd ed, by W. H. Press, S. A. Teukolsky,
  45 //        W. T. Vetterling, B. P. Flannery, Cambridge University Press
  46 //        (1992), pp. 261-269
  47
  48 #ifndef _GLIBCXX_TR1_ELL_INTEGRAL_TCC
  49 #define _GLIBCXX_TR1_ELL_INTEGRAL_TCC 1
  50
  51 namespace std
  52 {
  53 namespace tr1
  54 {
  55
  56   // [5.2] Special functions
  57
  58   // Implementation-space details.
  59   namespace __detail
  60   {
  61
  62     /**
  63      *   @brief Return the Carlson elliptic function @f$ R_F(x,y,z) @f$
  64      *          of the first kind.
  65      *
  66      *   The Carlson elliptic function of the first kind is defined by:
  67      *   @f[
  68      *       R_F(x,y,z) = \frac{1}{2} \int_0^\infty
  69      *                 \frac{dt}{(t + x)^{1/2}(t + y)^{1/2}(t + z)^{1/2}}
  70      *   @f]
  71      *
  72      *   @param  __x  The first of three symmetric arguments.
  73      *   @param  __y  The second of three symmetric arguments.
  74      *   @param  __z  The third of three symmetric arguments.
  75      *   @return  The Carlson elliptic function of the first kind.
  76      */
  77     template<typename _Tp>
  78     _Tp
  79     __ellint_rf(const _Tp __x, const _Tp __y, const _Tp __z)
  80     {
  81       const _Tp __min = std::numeric_limits<_Tp>::min();
  82       const _Tp __max = std::numeric_limits<_Tp>::max();
  83       const _Tp __lolim = _Tp(5) * __min;
  84       const _Tp __uplim = __max / _Tp(5);
  85
  86       if (__x < _Tp(0) || __y < _Tp(0) || __z < _Tp(0))
  87         std::__throw_domain_error(__N("Argument less than zero "
  88                                       "in __ellint_rf."));
  89       else if (__x + __y < __lolim || __x + __z < __lolim
  90             || __y + __z < __lolim)
  91         std::__throw_domain_error(__N("Argument too small in __ellint_rf"));
  92       else
  93         {
  94           const _Tp __c0 = _Tp(1) / _Tp(4);
  95           const _Tp __c1 = _Tp(1) / _Tp(24);
  96           const _Tp __c2 = _Tp(1) / _Tp(10);
  97           const _Tp __c3 = _Tp(3) / _Tp(44);
  98           const _Tp __c4 = _Tp(1) / _Tp(14);
  99
 100           _Tp __xn = __x;
 101           _Tp __yn = __y;
 102           _Tp __zn = __z;
 103
 104           const _Tp __eps = std::numeric_limits<_Tp>::epsilon();
 105           const _Tp __errtol = std::pow(__eps, _Tp(1) / _Tp(6));
 106           _Tp __mu;
 107           _Tp __xndev, __yndev, __zndev;
 108
 109           const unsigned int __max_iter = 100;
 110           for (unsigned int __iter = 0; __iter < __max_iter; ++__iter)
 111             {
 112               __mu = (__xn + __yn + __zn) / _Tp(3);
 113               __xndev = 2 - (__mu + __xn) / __mu;
 114               __yndev = 2 - (__mu + __yn) / __mu;
 115               __zndev = 2 - (__mu + __zn) / __mu;
 116               _Tp __epsilon = std::max(std::abs(__xndev), std::abs(__yndev));
 117               __epsilon = std::max(__epsilon, std::abs(__zndev));
 118               if (__epsilon < __errtol)
 119                 break;
 120               const _Tp __xnroot = std::sqrt(__xn);
 121               const _Tp __ynroot = std::sqrt(__yn);
 122               const _Tp __znroot = std::sqrt(__zn);
 123               const _Tp __lambda = __xnroot * (__ynroot + __znroot)
 124                                  + __ynroot * __znroot;
 125               __xn = __c0 * (__xn + __lambda);
 126               __yn = __c0 * (__yn + __lambda);
 127               __zn = __c0 * (__zn + __lambda);
 128             }
 129
 130           const _Tp __e2 = __xndev * __yndev - __zndev * __zndev;
 131           const _Tp __e3 = __xndev * __yndev * __zndev;
 132           const _Tp __s  = _Tp(1) + (__c1 * __e2 - __c2 - __c3 * __e3) * __e2
 133                    + __c4 * __e3;
 134
 135           return __s / std::sqrt(__mu);
 136         }
 137     }
 138
 139
 140     /**
 141      *   @brief Return the complete elliptic integral of the first kind
 142      *          @f$ K(k) @f$ by series expansion.
 143      *
 144      *   The complete elliptic integral of the first kind is defined as
 145      *   @f[
 146      *     K(k) = F(k,\pi/2) = \int_0^{\pi/2}\frac{d\theta}
 147      *                              {\sqrt{1 - k^2sin^2\theta}}
 148      *   @f]
 149      *
 150      *   This routine is not bad as long as |k| is somewhat smaller than 1
 151      *   but is not is good as the Carlson elliptic integral formulation.
 152      *
 153      *   @param  __k  The argument of the complete elliptic function.
 154      *   @return  The complete elliptic function of the first kind.
 155      */
 156     template<typename _Tp>
 157     _Tp
 158     __comp_ellint_1_series(const _Tp __k)
 159     {
 160
 161       const _Tp __kk = __k * __k;
 162
 163       _Tp __term = __kk / _Tp(4);
 164       _Tp __sum = _Tp(1) + __term;
 165
 166       const unsigned int __max_iter = 1000;
 167       for (unsigned int __i = 2; __i < __max_iter; ++__i)
 168         {
 169           __term *= (2 * __i - 1) * __kk / (2 * __i);
 170           if (__term < std::numeric_limits<_Tp>::epsilon())
 171             break;
 172           __sum += __term;
 173         }
 174
 175       return __numeric_constants<_Tp>::__pi_2() * __sum;
 176     }
 177
 178
 179     /**
 180      *   @brief  Return the complete elliptic integral of the first kind
 181      *           @f$ K(k) @f$ using the Carlson formulation.
 182      *
 183      *   The complete elliptic integral of the first kind is defined as
 184      *   @f[
 185      *     K(k) = F(k,\pi/2) = \int_0^{\pi/2}\frac{d\theta}
 186      *                                           {\sqrt{1 - k^2 sin^2\theta}}
 187      *   @f]
 188      *   where @f$ F(k,\phi) @f$ is the incomplete elliptic integral of the
 189      *   first kind.
 190      *
 191      *   @param  __k  The argument of the complete elliptic function.
 192      *   @return  The complete elliptic function of the first kind.
 193      */
 194     template<typename _Tp>
 195     _Tp
 196     __comp_ellint_1(const _Tp __k)
 197     {
 198
 199       if (__isnan(__k))
 200         return std::numeric_limits<_Tp>::quiet_NaN();
 201       else if (std::abs(__k) >= _Tp(1))
 202         return std::numeric_limits<_Tp>::quiet_NaN();
 203       else
 204         return __ellint_rf(_Tp(0), _Tp(1) - __k * __k, _Tp(1));
 205     }
 206
 207
 208     /**
 209      *   @brief  Return the incomplete elliptic integral of the first kind
 210      *           @f$ F(k,\phi) @f$ using the Carlson formulation.
 211      *
 212      *   The incomplete elliptic integral of the first kind is defined as
 213      *   @f[
 214      *     F(k,\phi) = \int_0^{\phi}\frac{d\theta}
 215      *                                   {\sqrt{1 - k^2 sin^2\theta}}
 216      *   @f]
 217      *
 218      *   @param  __k  The argument of the elliptic function.
 219      *   @param  __phi  The integral limit argument of the elliptic function.
 220      *   @return  The elliptic function of the first kind.
 221      */
 222     template<typename _Tp>
 223     _Tp
 224     __ellint_1(const _Tp __k, const _Tp __phi)
 225     {
 226
 227       if (__isnan(__k) || __isnan(__phi))
 228         return std::numeric_limits<_Tp>::quiet_NaN();
 229       else if (std::abs(__k) > _Tp(1))
 230         std::__throw_domain_error(__N("Bad argument in __ellint_1."));
 231       else
 232         {
 233           //  Reduce phi to -pi/2 < phi < +pi/2.
 234           const int __n = std::floor(__phi / __numeric_constants<_Tp>::__pi()
 235                                    + _Tp(0.5L));
 236           const _Tp __phi_red = __phi
 237                               - __n * __numeric_constants<_Tp>::__pi();
 238
 239           const _Tp __s = std::sin(__phi_red);
 240           const _Tp __c = std::cos(__phi_red);
 241
 242           const _Tp __F = __s
 243                         * __ellint_rf(__c * __c,
 244                                 _Tp(1) - __k * __k * __s * __s, _Tp(1));
 245
 246           if (__n == 0)
 247             return __F;
 248           else
 249             return __F + _Tp(2) * __n * __comp_ellint_1(__k);
 250         }
 251     }
 252
 253
 254     /**
 255      *   @brief Return the complete elliptic integral of the second kind
 256      *          @f$ E(k) @f$ by series expansion.
 257      *
 258      *   The complete elliptic integral of the second kind is defined as
 259      *   @f[
 260      *     E(k,\pi/2) = \int_0^{\pi/2}\sqrt{1 - k^2 sin^2\theta}
 261      *   @f]
 262      *
 263      *   This routine is not bad as long as |k| is somewhat smaller than 1
 264      *   but is not is good as the Carlson elliptic integral formulation.
 265      *
 266      *   @param  __k  The argument of the complete elliptic function.
 267      *   @return  The complete elliptic function of the second kind.
 268      */
 269     template<typename _Tp>
 270     _Tp
 271     __comp_ellint_2_series(const _Tp __k)
 272     {
 273
 274       const _Tp __kk = __k * __k;
 275
 276       _Tp __term = __kk;
 277       _Tp __sum = __term;
 278
 279       const unsigned int __max_iter = 1000;
 280       for (unsigned int __i = 2; __i < __max_iter; ++__i)
 281         {
 282           const _Tp __i2m = 2 * __i - 1;
 283           const _Tp __i2 = 2 * __i;
 284           __term *= __i2m * __i2m * __kk / (__i2 * __i2);
 285           if (__term < std::numeric_limits<_Tp>::epsilon())
 286             break;
 287           __sum += __term / __i2m;
 288         }
 289
 290       return __numeric_constants<_Tp>::__pi_2() * (_Tp(1) - __sum);
 291     }
 292
 293
 294     /**
 295      *   @brief  Return the Carlson elliptic function of the second kind
 296      *           @f$ R_D(x,y,z) = R_J(x,y,z,z) @f$ where
 297      *           @f$ R_J(x,y,z,p) @f$ is the Carlson elliptic function
 298      *           of the third kind.
 299      *
 300      *   The Carlson elliptic function of the second kind is defined by:
 301      *   @f[
 302      *       R_D(x,y,z) = \frac{3}{2} \int_0^\infty
 303      *                 \frac{dt}{(t + x)^{1/2}(t + y)^{1/2}(t + z)^{3/2}}
 304      *   @f]
 305      *
 306      *   Based on Carlson's algorithms:
 307      *   -  B. C. Carlson Numer. Math. 33, 1 (1979)
 308      *   -  B. C. Carlson, Special Functions of Applied Mathematics (1977)
 309      *   -  Numerical Recipes in C, 2nd ed, pp. 261-269,
 310      *      by Press, Teukolsky, Vetterling, Flannery (1992)
 311      *
 312      *   @param  __x  The first of two symmetric arguments.
 313      *   @param  __y  The second of two symmetric arguments.
 314      *   @param  __z  The third argument.
 315      *   @return  The Carlson elliptic function of the second kind.
 316      */
 317     template<typename _Tp>
 318     _Tp
 319     __ellint_rd(const _Tp __x, const _Tp __y, const _Tp __z)
 320     {
 321       const _Tp __eps = std::numeric_limits<_Tp>::epsilon();
 322       const _Tp __errtol = std::pow(__eps / _Tp(8), _Tp(1) / _Tp(6));
 323       const _Tp __min = std::numeric_limits<_Tp>::min();
 324       const _Tp __max = std::numeric_limits<_Tp>::max();
 325       const _Tp __lolim = _Tp(2) / std::pow(__max, _Tp(2) / _Tp(3));
 326       const _Tp __uplim = std::pow(_Tp(0.1L) * __errtol / __min, _Tp(2) / _Tp(3));
 327
 328       if (__x < _Tp(0) || __y < _Tp(0))
 329         std::__throw_domain_error(__N("Argument less than zero "
 330                                       "in __ellint_rd."));
 331       else if (__x + __y < __lolim || __z < __lolim)
 332         std::__throw_domain_error(__N("Argument too small "
 333                                       "in __ellint_rd."));
 334       else
 335         {
 336           const _Tp __c0 = _Tp(1) / _Tp(4);
 337           const _Tp __c1 = _Tp(3) / _Tp(14);
 338           const _Tp __c2 = _Tp(1) / _Tp(6);
 339           const _Tp __c3 = _Tp(9) / _Tp(22);
 340           const _Tp __c4 = _Tp(3) / _Tp(26);
 341
 342           _Tp __xn = __x;
 343           _Tp __yn = __y;
 344           _Tp __zn = __z;
 345           _Tp __sigma = _Tp(0);
 346           _Tp __power4 = _Tp(1);
 347
 348           _Tp __mu;
 349           _Tp __xndev, __yndev, __zndev;
 350
 351           const unsigned int __max_iter = 100;
 352           for (unsigned int __iter = 0; __iter < __max_iter; ++__iter)
 353             {
 354               __mu = (__xn + __yn + _Tp(3) * __zn) / _Tp(5);
 355               __xndev = (__mu - __xn) / __mu;
 356               __yndev = (__mu - __yn) / __mu;
 357               __zndev = (__mu - __zn) / __mu;
 358               _Tp __epsilon = std::max(std::abs(__xndev), std::abs(__yndev));
 359               __epsilon = std::max(__epsilon, std::abs(__zndev));
 360               if (__epsilon < __errtol)
 361                 break;
 362               _Tp __xnroot = std::sqrt(__xn);
 363               _Tp __ynroot = std::sqrt(__yn);
 364               _Tp __znroot = std::sqrt(__zn);
 365               _Tp __lambda = __xnroot * (__ynroot + __znroot)
 366                            + __ynroot * __znroot;
 367               __sigma += __power4 / (__znroot * (__zn + __lambda));
 368               __power4 *= __c0;
 369               __xn = __c0 * (__xn + __lambda);
 370               __yn = __c0 * (__yn + __lambda);
 371               __zn = __c0 * (__zn + __lambda);
 372             }
 373
 374           _Tp __ea = __xndev * __yndev;
 375           _Tp __eb = __zndev * __zndev;
 376           _Tp __ec = __ea - __eb;
 377           _Tp __ed = __ea - _Tp(6) * __eb;
 378           _Tp __ef = __ed + __ec + __ec;
 379           _Tp __s1 = __ed * (-__c1 + __c3 * __ed
 380                                    / _Tp(3) - _Tp(3) * __c4 * __zndev * __ef
 381                                    / _Tp(2));
 382           _Tp __s2 = __zndev
 383                    * (__c2 * __ef
 384                     + __zndev * (-__c3 * __ec - __zndev * __c4 - __ea));
 385
 386           return _Tp(3) * __sigma + __power4 * (_Tp(1) + __s1 + __s2)
 387                                         / (__mu * std::sqrt(__mu));
 388         }
 389     }
 390
 391
 392     /**
 393      *   @brief  Return the complete elliptic integral of the second kind
 394      *           @f$ E(k) @f$ using the Carlson formulation.
 395      *
 396      *   The complete elliptic integral of the second kind is defined as
 397      *   @f[
 398      *     E(k,\pi/2) = \int_0^{\pi/2}\sqrt{1 - k^2 sin^2\theta}
 399      *   @f]
 400      *
 401      *   @param  __k  The argument of the complete elliptic function.
 402      *   @return  The complete elliptic function of the second kind.
 403      */
 404     template<typename _Tp>
 405     _Tp
 406     __comp_ellint_2(const _Tp __k)
 407     {
 408
 409       if (__isnan(__k))
 410         return std::numeric_limits<_Tp>::quiet_NaN();
 411       else if (std::abs(__k) == 1)
 412         return _Tp(1);
 413       else if (std::abs(__k) > _Tp(1))
 414         std::__throw_domain_error(__N("Bad argument in __comp_ellint_2."));
 415       else
 416         {
 417           const _Tp __kk = __k * __k;
 418
 419           return __ellint_rf(_Tp(0), _Tp(1) - __kk, _Tp(1))
 420                - __kk * __ellint_rd(_Tp(0), _Tp(1) - __kk, _Tp(1)) / _Tp(3);
 421         }
 422     }
 423
 424
 425     /**
 426      *   @brief  Return the incomplete elliptic integral of the second kind
 427      *           @f$ E(k,\phi) @f$ using the Carlson formulation.
 428      *
 429      *   The incomplete elliptic integral of the second kind is defined as
 430      *   @f[
 431      *     E(k,\phi) = \int_0^{\phi} \sqrt{1 - k^2 sin^2\theta}
 432      *   @f]
 433      *
 434      *   @param  __k  The argument of the elliptic function.
 435      *   @param  __phi  The integral limit argument of the elliptic function.
 436      *   @return  The elliptic function of the second kind.
 437      */
 438     template<typename _Tp>
 439     _Tp
 440     __ellint_2(const _Tp __k, const _Tp __phi)
 441     {
 442
 443       if (__isnan(__k) || __isnan(__phi))
 444         return std::numeric_limits<_Tp>::quiet_NaN();
 445       else if (std::abs(__k) > _Tp(1))
 446         std::__throw_domain_error(__N("Bad argument in __ellint_2."));
 447       else
 448         {
 449           //  Reduce phi to -pi/2 < phi < +pi/2.
 450           const int __n = std::floor(__phi / __numeric_constants<_Tp>::__pi()
 451                                    + _Tp(0.5L));
 452           const _Tp __phi_red = __phi
 453                               - __n * __numeric_constants<_Tp>::__pi();
 454
 455           const _Tp __kk = __k * __k;
 456           const _Tp __s = std::sin(__phi_red);
 457           const _Tp __ss = __s * __s;
 458           const _Tp __sss = __ss * __s;
 459           const _Tp __c = std::cos(__phi_red);
 460           const _Tp __cc = __c * __c;
 461
 462           const _Tp __E = __s
 463                         * __ellint_rf(__cc, _Tp(1) - __kk * __ss, _Tp(1))
 464                         - __kk * __sss
 465                         * __ellint_rd(__cc, _Tp(1) - __kk * __ss, _Tp(1))
 466                         / _Tp(3);
 467
 468           if (__n == 0)
 469             return __E;
 470           else
 471             return __E + _Tp(2) * __n * __comp_ellint_2(__k);
 472         }
 473     }
 474
 475
 476     /**
 477      *   @brief  Return the Carlson elliptic function
 478      *           @f$ R_C(x,y) = R_F(x,y,y) @f$ where @f$ R_F(x,y,z) @f$
 479      *           is the Carlson elliptic function of the first kind.
 480      *
 481      *   The Carlson elliptic function is defined by:
 482      *   @f[
 483      *       R_C(x,y) = \frac{1}{2} \int_0^\infty
 484      *                 \frac{dt}{(t + x)^{1/2}(t + y)}
 485      *   @f]
 486      *
 487      *   Based on Carlson's algorithms:
 488      *   -  B. C. Carlson Numer. Math. 33, 1 (1979)
 489      *   -  B. C. Carlson, Special Functions of Applied Mathematics (1977)
 490      *   -  Numerical Recipes in C, 2nd ed, pp. 261-269,
 491      *      by Press, Teukolsky, Vetterling, Flannery (1992)
 492      *
 493      *   @param  __x  The first argument.
 494      *   @param  __y  The second argument.
 495      *   @return  The Carlson elliptic function.
 496      */
 497     template<typename _Tp>
 498     _Tp
 499     __ellint_rc(const _Tp __x, const _Tp __y)
 500     {
 501       const _Tp __min = std::numeric_limits<_Tp>::min();
 502       const _Tp __max = std::numeric_limits<_Tp>::max();
 503       const _Tp __lolim = _Tp(5) * __min;
 504       const _Tp __uplim = __max / _Tp(5);
 505
 506       if (__x < _Tp(0) || __y < _Tp(0) || __x + __y < __lolim)
 507         std::__throw_domain_error(__N("Argument less than zero "
 508                                       "in __ellint_rc."));
 509       else
 510         {
 511           const _Tp __c0 = _Tp(1) / _Tp(4);
 512           const _Tp __c1 = _Tp(1) / _Tp(7);
 513           const _Tp __c2 = _Tp(9) / _Tp(22);
 514           const _Tp __c3 = _Tp(3) / _Tp(10);
 515           const _Tp __c4 = _Tp(3) / _Tp(8);
 516
 517           _Tp __xn = __x;
 518           _Tp __yn = __y;
 519
 520           const _Tp __eps = std::numeric_limits<_Tp>::epsilon();
 521           const _Tp __errtol = std::pow(__eps / _Tp(30), _Tp(1) / _Tp(6));
 522           _Tp __mu;
 523           _Tp __sn;
 524
 525           const unsigned int __max_iter = 100;
 526           for (unsigned int __iter = 0; __iter < __max_iter; ++__iter)
 527             {
 528               __mu = (__xn + _Tp(2) * __yn) / _Tp(3);
 529               __sn = (__yn + __mu) / __mu - _Tp(2);
 530               if (std::abs(__sn) < __errtol)
 531                 break;
 532               const _Tp __lambda = _Tp(2) * std::sqrt(__xn) * std::sqrt(__yn)
 533                              + __yn;
 534               __xn = __c0 * (__xn + __lambda);
 535               __yn = __c0 * (__yn + __lambda);
 536             }
 537
 538           _Tp __s = __sn * __sn
 539                   * (__c3 + __sn*(__c1 + __sn * (__c4 + __sn * __c2)));
 540
 541           return (_Tp(1) + __s) / std::sqrt(__mu);
 542         }
 543     }
 544
 545
 546     /**
 547      *   @brief  Return the Carlson elliptic function @f$ R_J(x,y,z,p) @f$
 548      *           of the third kind.
 549      *
 550      *   The Carlson elliptic function of the third kind is defined by:
 551      *   @f[
 552      *       R_J(x,y,z,p) = \frac{3}{2} \int_0^\infty
 553      *       \frac{dt}{(t + x)^{1/2}(t + y)^{1/2}(t + z)^{1/2}(t + p)}
 554      *   @f]
 555      *
 556      *   Based on Carlson's algorithms:
 557      *   -  B. C. Carlson Numer. Math. 33, 1 (1979)
 558      *   -  B. C. Carlson, Special Functions of Applied Mathematics (1977)
 559      *   -  Numerical Recipes in C, 2nd ed, pp. 261-269,
 560      *      by Press, Teukolsky, Vetterling, Flannery (1992)
 561      *
 562      *   @param  __x  The first of three symmetric arguments.
 563      *   @param  __y  The second of three symmetric arguments.
 564      *   @param  __z  The third of three symmetric arguments.
 565      *   @param  __p  The fourth argument.
 566      *   @return  The Carlson elliptic function of the fourth kind.
 567      */
 568     template<typename _Tp>
 569     _Tp
 570     __ellint_rj(const _Tp __x, const _Tp __y, const _Tp __z, const _Tp __p)
 571     {
 572       const _Tp __min = std::numeric_limits<_Tp>::min();
 573       const _Tp __max = std::numeric_limits<_Tp>::max();
 574       const _Tp __lolim = std::pow(_Tp(5) * __min, _Tp(1)/_Tp(3));
 575       const _Tp __uplim = _Tp(0.3L)
 576                         * std::pow(_Tp(0.2L) * __max, _Tp(1)/_Tp(3));
 577
 578       if (__x < _Tp(0) || __y < _Tp(0) || __z < _Tp(0))
 579         std::__throw_domain_error(__N("Argument less than zero "
 580                                       "in __ellint_rj."));
 581       else if (__x + __y < __lolim || __x + __z < __lolim
 582             || __y + __z < __lolim || __p < __lolim)
 583         std::__throw_domain_error(__N("Argument too small "
 584                                       "in __ellint_rj"));
 585       else
 586         {
 587           const _Tp __c0 = _Tp(1) / _Tp(4);
 588           const _Tp __c1 = _Tp(3) / _Tp(14);
 589           const _Tp __c2 = _Tp(1) / _Tp(3);
 590           const _Tp __c3 = _Tp(3) / _Tp(22);
 591           const _Tp __c4 = _Tp(3) / _Tp(26);
 592
 593           _Tp __xn = __x;
 594           _Tp __yn = __y;
 595           _Tp __zn = __z;
 596           _Tp __pn = __p;
 597           _Tp __sigma = _Tp(0);
 598           _Tp __power4 = _Tp(1);
 599
 600           const _Tp __eps = std::numeric_limits<_Tp>::epsilon();
 601           const _Tp __errtol = std::pow(__eps / _Tp(8), _Tp(1) / _Tp(6));
 602
 603           _Tp __lambda, __mu;
 604           _Tp __xndev, __yndev, __zndev, __pndev;
 605
 606           const unsigned int __max_iter = 100;
 607           for (unsigned int __iter = 0; __iter < __max_iter; ++__iter)
 608             {
 609               __mu = (__xn + __yn + __zn + _Tp(2) * __pn) / _Tp(5);
 610               __xndev = (__mu - __xn) / __mu;
 611               __yndev = (__mu - __yn) / __mu;
 612               __zndev = (__mu - __zn) / __mu;
 613               __pndev = (__mu - __pn) / __mu;
 614               _Tp __epsilon = std::max(std::abs(__xndev), std::abs(__yndev));
 615               __epsilon = std::max(__epsilon, std::abs(__zndev));
 616               __epsilon = std::max(__epsilon, std::abs(__pndev));
 617               if (__epsilon < __errtol)
 618                 break;
 619               const _Tp __xnroot = std::sqrt(__xn);
 620               const _Tp __ynroot = std::sqrt(__yn);
 621               const _Tp __znroot = std::sqrt(__zn);
 622               const _Tp __lambda = __xnroot * (__ynroot + __znroot)
 623                                  + __ynroot * __znroot;
 624               const _Tp __alpha1 = __pn * (__xnroot + __ynroot + __znroot)
 625                                 + __xnroot * __ynroot * __znroot;
 626               const _Tp __alpha2 = __alpha1 * __alpha1;
 627               const _Tp __beta = __pn * (__pn + __lambda)
 628                                       * (__pn + __lambda);
 629               __sigma += __power4 * __ellint_rc(__alpha2, __beta);
 630               __power4 *= __c0;
 631               __xn = __c0 * (__xn + __lambda);
 632               __yn = __c0 * (__yn + __lambda);
 633               __zn = __c0 * (__zn + __lambda);
 634               __pn = __c0 * (__pn + __lambda);
 635             }
 636
 637           _Tp __ea = __xndev * (__yndev + __zndev) + __yndev * __zndev;
 638           _Tp __eb = __xndev * __yndev * __zndev;
 639           _Tp __ec = __pndev * __pndev;
 640           _Tp __e2 = __ea - _Tp(3) * __ec;
 641           _Tp __e3 = __eb + _Tp(2) * __pndev * (__ea - __ec);
 642           _Tp __s1 = _Tp(1) + __e2 * (-__c1 + _Tp(3) * __c3 * __e2 / _Tp(4)
 643                             - _Tp(3) * __c4 * __e3 / _Tp(2));
 644           _Tp __s2 = __eb * (__c2 / _Tp(2)
 645                    + __pndev * (-__c3 - __c3 + __pndev * __c4));
 646           _Tp __s3 = __pndev * __ea * (__c2 - __pndev * __c3)
 647                    - __c2 * __pndev * __ec;
 648
 649           return _Tp(3) * __sigma + __power4 * (__s1 + __s2 + __s3)
 650                                              / (__mu * std::sqrt(__mu));
 651         }
 652     }
 653
 654
 655     /**
 656      *   @brief Return the complete elliptic integral of the third kind
 657      *          @f$ \Pi(k,\nu) = \Pi(k,\nu,\pi/2) @f$ using the
 658      *          Carlson formulation.
 659      *
 660      *   The complete elliptic integral of the third kind is defined as
 661      *   @f[
 662      *     \Pi(k,\nu) = \int_0^{\pi/2}
 663      *                   \frac{d\theta}
 664      *                 {(1 - \nu \sin^2\theta)\sqrt{1 - k^2 \sin^2\theta}}
 665      *   @f]
 666      *
 667      *   @param  __k  The argument of the elliptic function.
 668      *   @param  __nu  The second argument of the elliptic function.
 669      *   @return  The complete elliptic function of the third kind.
 670      */
 671     template<typename _Tp>
 672     _Tp
 673     __comp_ellint_3(const _Tp __k, const _Tp __nu)
 674     {
 675
 676       if (__isnan(__k) || __isnan(__nu))
 677         return std::numeric_limits<_Tp>::quiet_NaN();
 678       else if (__nu == _Tp(1))
 679         return std::numeric_limits<_Tp>::infinity();
 680       else if (std::abs(__k) > _Tp(1))
 681         std::__throw_domain_error(__N("Bad argument in __comp_ellint_3."));
 682       else
 683         {
 684           const _Tp __kk = __k * __k;
 685
 686           return __ellint_rf(_Tp(0), _Tp(1) - __kk, _Tp(1))
 687                - __nu
 688                * __ellint_rj(_Tp(0), _Tp(1) - __kk, _Tp(1), _Tp(1) + __nu)
 689                / _Tp(3);
 690         }
 691     }
 692
 693
 694     /**
 695      *   @brief Return the incomplete elliptic integral of the third kind
 696      *          @f$ \Pi(k,\nu,\phi) @f$ using the Carlson formulation.
 697      *
 698      *   The incomplete elliptic integral of the third kind is defined as
 699      *   @f[
 700      *     \Pi(k,\nu,\phi) = \int_0^{\phi}
 701      *                       \frac{d\theta}
 702      *                            {(1 - \nu \sin^2\theta)
 703      *                             \sqrt{1 - k^2 \sin^2\theta}}
 704      *   @f]
 705      *
 706      *   @param  __k  The argument of the elliptic function.
 707      *   @param  __nu  The second argument of the elliptic function.
 708      *   @param  __phi  The integral limit argument of the elliptic function.
 709      *   @return  The elliptic function of the third kind.
 710      */
 711     template<typename _Tp>
 712     _Tp
 713     __ellint_3(const _Tp __k, const _Tp __nu, const _Tp __phi)
 714     {
 715
 716       if (__isnan(__k) || __isnan(__nu) || __isnan(__phi))
 717         return std::numeric_limits<_Tp>::quiet_NaN();
 718       else if (std::abs(__k) > _Tp(1))
 719         std::__throw_domain_error(__N("Bad argument in __ellint_3."));
 720       else
 721         {
 722           //  Reduce phi to -pi/2 < phi < +pi/2.
 723           const int __n = std::floor(__phi / __numeric_constants<_Tp>::__pi()
 724                                    + _Tp(0.5L));
 725           const _Tp __phi_red = __phi
 726                               - __n * __numeric_constants<_Tp>::__pi();
 727
 728           const _Tp __kk = __k * __k;
 729           const _Tp __s = std::sin(__phi_red);
 730           const _Tp __ss = __s * __s;
 731           const _Tp __sss = __ss * __s;
 732           const _Tp __c = std::cos(__phi_red);
 733           const _Tp __cc = __c * __c;
 734
 735           const _Tp __Pi = __s
 736                          * __ellint_rf(__cc, _Tp(1) - __kk * __ss, _Tp(1))
 737                          - __nu * __sss
 738                          * __ellint_rj(__cc, _Tp(1) - __kk * __ss, _Tp(1),
 739                                        _Tp(1) + __nu * __ss) / _Tp(3);
 740
 741           if (__n == 0)
 742             return __Pi;
 743           else
 744             return __Pi + _Tp(2) * __n * __comp_ellint_3(__k, __nu);
 745         }
 746     }
 747
 748   } // namespace std::tr1::__detail
 749 }
 750 }
 751
 752 #endif // _GLIBCXX_TR1_ELL_INTEGRAL_TCC
 753