l4/pkg/libstdc++-v3/contrib/libstdc++-v3-4.3.3/include/tr1/bessel_function.tcc

   1 // Special functions -*- C++ -*-
   2
   3 // Copyright (C) 2006, 2007, 2008
   4 // Free Software Foundation, Inc.
   5 //
   6 // This file is part of the GNU ISO C++ Library.  This library is free
   7 // software; you can redistribute it and/or modify it under the
   8 // terms of the GNU General Public License as published by the
   9 // Free Software Foundation; either version 2, or (at your option)
  10 // any later version.
  11 //
  12 // This library is distributed in the hope that it will be useful,
  13 // but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of
  14 // MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE.  See the
  15 // GNU General Public License for more details.
  16 //
  17 // You should have received a copy of the GNU General Public License along
  18 // with this library; see the file COPYING.  If not, write to the Free
  19 // Software Foundation, 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA 02110-1301,
  20 // USA.
  21 //
  22 // As a special exception, you may use this file as part of a free software
  23 // library without restriction.  Specifically, if other files instantiate
  24 // templates or use macros or inline functions from this file, or you compile
  25 // this file and link it with other files to produce an executable, this
  26 // file does not by itself cause the resulting executable to be covered by
  27 // the GNU General Public License.  This exception does not however
  28 // invalidate any other reasons why the executable file might be covered by
  29 // the GNU General Public License.
  30
  31 /** @file tr1/bessel_function.tcc
  32  *  This is an internal header file, included by other library headers.
  33  *  You should not attempt to use it directly.
  34  */
  35
  36 //
  37 // ISO C++ 14882 TR1: 5.2  Special functions
  38 //
  39
  40 // Written by Edward Smith-Rowland.
  41 //
  42 // References:
  43 //   (1) Handbook of Mathematical Functions,
  44 //       ed. Milton Abramowitz and Irene A. Stegun,
  45 //       Dover Publications,
  46 //       Section 9, pp. 355-434, Section 10 pp. 435-478
  47 //   (2) The Gnu Scientific Library, http://www.gnu.org/software/gsl
  48 //   (3) Numerical Recipes in C, by W. H. Press, S. A. Teukolsky,
  49 //       W. T. Vetterling, B. P. Flannery, Cambridge University Press (1992),
  50 //       2nd ed, pp. 240-245
  51
  52 #ifndef _GLIBCXX_TR1_BESSEL_FUNCTION_TCC
  53 #define _GLIBCXX_TR1_BESSEL_FUNCTION_TCC 1
  54
  55 #include "special_function_util.h"
  56
  57 namespace std
  58 {
  59 namespace tr1
  60 {
  61
  62   // [5.2] Special functions
  63
  64   // Implementation-space details.
  65   namespace __detail
  66   {
  67
  68     /**
  69      *   @brief Compute the gamma functions required by the Temme series
  70      *          expansions of @f$ N_\nu(x) @f$ and @f$ K_\nu(x) @f$.
  71      *   @f[
  72      *     \Gamma_1 = \frac{1}{2\mu}
  73      *                [\frac{1}{\Gamma(1 - \mu)} - \frac{1}{\Gamma(1 + \mu)}]
  74      *   @f]
  75      *   and
  76      *   @f[
  77      *     \Gamma_2 = \frac{1}{2}
  78      *                [\frac{1}{\Gamma(1 - \mu)} + \frac{1}{\Gamma(1 + \mu)}]
  79      *   @f]
  80      *   where @f$ -1/2 <= \mu <= 1/2 @f$ is @f$ \mu = \nu - N @f$ and @f$ N @f$.
  81      *   is the nearest integer to @f$ \nu @f$.
  82      *   The values of \f$ \Gamma(1 + \mu) \f$ and \f$ \Gamma(1 - \mu) \f$
  83      *   are returned as well.
  84      *
  85      *   The accuracy requirements on this are exquisite.
  86      *
  87      *   @param __mu     The input parameter of the gamma functions.
  88      *   @param __gam1   The output function \f$ \Gamma_1(\mu) \f$
  89      *   @param __gam2   The output function \f$ \Gamma_2(\mu) \f$
  90      *   @param __gampl  The output function \f$ \Gamma(1 + \mu) \f$
  91      *   @param __gammi  The output function \f$ \Gamma(1 - \mu) \f$
  92      */
  93     template <typename _Tp>
  94     void
  95     __gamma_temme(const _Tp __mu,
  96                    _Tp & __gam1, _Tp & __gam2, _Tp & __gampl, _Tp & __gammi)
  97     {
  98 #if _GLIBCXX_USE_C99_MATH_TR1
  99       __gampl = _Tp(1) / std::tr1::tgamma(_Tp(1) + __mu);
 100       __gammi = _Tp(1) / std::tr1::tgamma(_Tp(1) - __mu);
 101 #else
 102       __gampl = _Tp(1) / __gamma(_Tp(1) + __mu);
 103       __gammi = _Tp(1) / __gamma(_Tp(1) - __mu);
 104 #endif
 105
 106       if (std::abs(__mu) < std::numeric_limits<_Tp>::epsilon())
 107         __gam1 = -_Tp(__numeric_constants<_Tp>::__gamma_e());
 108       else
 109         __gam1 = (__gammi - __gampl) / (_Tp(2) * __mu);
 110
 111       __gam2 = (__gammi + __gampl) / (_Tp(2));
 112
 113       return;
 114     }
 115
 116
 117     /**
 118      *   @brief  Compute the Bessel @f$ J_\nu(x) @f$ and Neumann
 119      *           @f$ N_\nu(x) @f$ functions and their first derivatives
 120      *           @f$ J'_\nu(x) @f$ and @f$ N'_\nu(x) @f$ respectively.
 121      *           These four functions are computed together for numerical
 122      *           stability.
 123      *
 124      *   @param  __nu  The order of the Bessel functions.
 125      *   @param  __x   The argument of the Bessel functions.
 126      *   @param  __Jnu  The output Bessel function of the first kind.
 127      *   @param  __Nnu  The output Neumann function (Bessel function of the second kind).
 128      *   @param  __Jpnu  The output derivative of the Bessel function of the first kind.
 129      *   @param  __Npnu  The output derivative of the Neumann function.
 130      */
 131     template <typename _Tp>
 132     void
 133     __bessel_jn(const _Tp __nu, const _Tp __x,
 134                 _Tp & __Jnu, _Tp & __Nnu, _Tp & __Jpnu, _Tp & __Npnu)
 135     {
 136       if (__x == _Tp(0))
 137         {
 138           if (__nu == _Tp(0))
 139             {
 140               __Jnu = _Tp(1);
 141               __Jpnu = _Tp(0);
 142             }
 143           else if (__nu == _Tp(1))
 144             {
 145               __Jnu = _Tp(0);
 146               __Jpnu = _Tp(0.5L);
 147             }
 148           else
 149             {
 150               __Jnu = _Tp(0);
 151               __Jpnu = _Tp(0);
 152             }
 153           __Nnu = -std::numeric_limits<_Tp>::infinity();
 154           __Npnu = std::numeric_limits<_Tp>::infinity();
 155           return;
 156         }
 157
 158       const _Tp __eps = std::numeric_limits<_Tp>::epsilon();
 159       //  When the multiplier is N i.e.
 160       //  fp_min = N * min()
 161       //  Then J_0 and N_0 tank at x = 8 * N (J_0 = 0 and N_0 = nan)!
 162       //const _Tp __fp_min = _Tp(20) * std::numeric_limits<_Tp>::min();
 163       const _Tp __fp_min = std::sqrt(std::numeric_limits<_Tp>::min());
 164       const int __max_iter = 15000;
 165       const _Tp __x_min = _Tp(2);
 166
 167       const int __nl = (__x < __x_min
 168                     ? static_cast<int>(__nu + _Tp(0.5L))
 169                     : std::max(0, static_cast<int>(__nu - __x + _Tp(1.5L))));
 170
 171       const _Tp __mu = __nu - __nl;
 172       const _Tp __mu2 = __mu * __mu;
 173       const _Tp __xi = _Tp(1) / __x;
 174       const _Tp __xi2 = _Tp(2) * __xi;
 175       _Tp __w = __xi2 / __numeric_constants<_Tp>::__pi();
 176       int __isign = 1;
 177       _Tp __h = __nu * __xi;
 178       if (__h < __fp_min)
 179         __h = __fp_min;
 180       _Tp __b = __xi2 * __nu;
 181       _Tp __d = _Tp(0);
 182       _Tp __c = __h;
 183       int __i;
 184       for (__i = 1; __i <= __max_iter; ++__i)
 185         {
 186           __b += __xi2;
 187           __d = __b - __d;
 188           if (std::abs(__d) < __fp_min)
 189             __d = __fp_min;
 190           __c = __b - _Tp(1) / __c;
 191           if (std::abs(__c) < __fp_min)
 192             __c = __fp_min;
 193           __d = _Tp(1) / __d;
 194           const _Tp __del = __c * __d;
 195           __h *= __del;
 196           if (__d < _Tp(0))
 197             __isign = -__isign;
 198           if (std::abs(__del - _Tp(1)) < __eps)
 199             break;
 200         }
 201       if (__i > __max_iter)
 202         std::__throw_runtime_error(__N("Argument x too large in __bessel_jn; "
 203                                        "try asymptotic expansion."));
 204       _Tp __Jnul = __isign * __fp_min;
 205       _Tp __Jpnul = __h * __Jnul;
 206       _Tp __Jnul1 = __Jnul;
 207       _Tp __Jpnu1 = __Jpnul;
 208       _Tp __fact = __nu * __xi;
 209       for ( int __l = __nl; __l >= 1; --__l )
 210         {
 211           const _Tp __Jnutemp = __fact * __Jnul + __Jpnul;
 212           __fact -= __xi;
 213           __Jpnul = __fact * __Jnutemp - __Jnul;
 214           __Jnul = __Jnutemp;
 215         }
 216       if (__Jnul == _Tp(0))
 217         __Jnul = __eps;
 218       _Tp __f= __Jpnul / __Jnul;
 219       _Tp __Nmu, __Nnu1, __Npmu, __Jmu;
 220       if (__x < __x_min)
 221         {
 222           const _Tp __x2 = __x / _Tp(2);
 223           const _Tp __pimu = __numeric_constants<_Tp>::__pi() * __mu;
 224           _Tp __fact = (std::abs(__pimu) < __eps
 225                       ? _Tp(1) : __pimu / std::sin(__pimu));
 226           _Tp __d = -std::log(__x2);
 227           _Tp __e = __mu * __d;
 228           _Tp __fact2 = (std::abs(__e) < __eps
 229                        ? _Tp(1) : std::sinh(__e) / __e);
 230           _Tp __gam1, __gam2, __gampl, __gammi;
 231           __gamma_temme(__mu, __gam1, __gam2, __gampl, __gammi);
 232           _Tp __ff = (_Tp(2) / __numeric_constants<_Tp>::__pi())
 233                    * __fact * (__gam1 * std::cosh(__e) + __gam2 * __fact2 * __d);
 234           __e = std::exp(__e);
 235           _Tp __p = __e / (__numeric_constants<_Tp>::__pi() * __gampl);
 236           _Tp __q = _Tp(1) / (__e * __numeric_constants<_Tp>::__pi() * __gammi);
 237           const _Tp __pimu2 = __pimu / _Tp(2);
 238           _Tp __fact3 = (std::abs(__pimu2) < __eps
 239                        ? _Tp(1) : std::sin(__pimu2) / __pimu2 );
 240           _Tp __r = __numeric_constants<_Tp>::__pi() * __pimu2 * __fact3 * __fact3;
 241           _Tp __c = _Tp(1);
 242           __d = -__x2 * __x2;
 243           _Tp __sum = __ff + __r * __q;
 244           _Tp __sum1 = __p;
 245           for (__i = 1; __i <= __max_iter; ++__i)
 246             {
 247               __ff = (__i * __ff + __p + __q) / (__i * __i - __mu2);
 248               __c *= __d / _Tp(__i);
 249               __p /= _Tp(__i) - __mu;
 250               __q /= _Tp(__i) + __mu;
 251               const _Tp __del = __c * (__ff + __r * __q);
 252               __sum += __del;
 253               const _Tp __del1 = __c * __p - __i * __del;
 254               __sum1 += __del1;
 255               if ( std::abs(__del) < __eps * (_Tp(1) + std::abs(__sum)) )
 256                 break;
 257             }
 258           if ( __i > __max_iter )
 259             std::__throw_runtime_error(__N("Bessel y series failed to converge "
 260                                            "in __bessel_jn."));
 261           __Nmu = -__sum;
 262           __Nnu1 = -__sum1 * __xi2;
 263           __Npmu = __mu * __xi * __Nmu - __Nnu1;
 264           __Jmu = __w / (__Npmu - __f * __Nmu);
 265         }
 266       else
 267         {
 268           _Tp __a = _Tp(0.25L) - __mu2;
 269           _Tp __q = _Tp(1);
 270           _Tp __p = -__xi / _Tp(2);
 271           _Tp __br = _Tp(2) * __x;
 272           _Tp __bi = _Tp(2);
 273           _Tp __fact = __a * __xi / (__p * __p + __q * __q);
 274           _Tp __cr = __br + __q * __fact;
 275           _Tp __ci = __bi + __p * __fact;
 276           _Tp __den = __br * __br + __bi * __bi;
 277           _Tp __dr = __br / __den;
 278           _Tp __di = -__bi / __den;
 279           _Tp __dlr = __cr * __dr - __ci * __di;
 280           _Tp __dli = __cr * __di + __ci * __dr;
 281           _Tp __temp = __p * __dlr - __q * __dli;
 282           __q = __p * __dli + __q * __dlr;
 283           __p = __temp;
 284           int __i;
 285           for (__i = 2; __i <= __max_iter; ++__i)
 286             {
 287               __a += _Tp(2 * (__i - 1));
 288               __bi += _Tp(2);
 289               __dr = __a * __dr + __br;
 290               __di = __a * __di + __bi;
 291               if (std::abs(__dr) + std::abs(__di) < __fp_min)
 292                 __dr = __fp_min;
 293               __fact = __a / (__cr * __cr + __ci * __ci);
 294               __cr = __br + __cr * __fact;
 295               __ci = __bi - __ci * __fact;
 296               if (std::abs(__cr) + std::abs(__ci) < __fp_min)
 297                 __cr = __fp_min;
 298               __den = __dr * __dr + __di * __di;
 299               __dr /= __den;
 300               __di /= -__den;
 301               __dlr = __cr * __dr - __ci * __di;
 302               __dli = __cr * __di + __ci * __dr;
 303               __temp = __p * __dlr - __q * __dli;
 304               __q = __p * __dli + __q * __dlr;
 305               __p = __temp;
 306               if (std::abs(__dlr - _Tp(1)) + std::abs(__dli) < __eps)
 307                 break;
 308           }
 309           if (__i > __max_iter)
 310             std::__throw_runtime_error(__N("Lentz's method failed "
 311                                            "in __bessel_jn."));
 312           const _Tp __gam = (__p - __f) / __q;
 313           __Jmu = std::sqrt(__w / ((__p - __f) * __gam + __q));
 314 #if _GLIBCXX_USE_C99_MATH_TR1
 315           __Jmu = std::tr1::copysign(__Jmu, __Jnul);
 316 #else
 317           if (__Jmu * __Jnul < _Tp(0))
 318             __Jmu = -__Jmu;
 319 #endif
 320           __Nmu = __gam * __Jmu;
 321           __Npmu = (__p + __q / __gam) * __Nmu;
 322           __Nnu1 = __mu * __xi * __Nmu - __Npmu;
 323       }
 324       __fact = __Jmu / __Jnul;
 325       __Jnu = __fact * __Jnul1;
 326       __Jpnu = __fact * __Jpnu1;
 327       for (__i = 1; __i <= __nl; ++__i)
 328         {
 329           const _Tp __Nnutemp = (__mu + __i) * __xi2 * __Nnu1 - __Nmu;
 330           __Nmu = __Nnu1;
 331           __Nnu1 = __Nnutemp;
 332         }
 333       __Nnu = __Nmu;
 334       __Npnu = __nu * __xi * __Nmu - __Nnu1;
 335
 336       return;
 337     }
 338
 339
 340     /**
 341      *   @brief This routine computes the asymptotic cylindrical Bessel
 342      *          and Neumann functions of order nu: \f$ J_{\nu} \f$,
 343      *          \f$ N_{\nu} \f$.
 344      *
 345      *   References:
 346      *    (1) Handbook of Mathematical Functions,
 347      *        ed. Milton Abramowitz and Irene A. Stegun,
 348      *        Dover Publications,
 349      *        Section 9 p. 364, Equations 9.2.5-9.2.10
 350      *
 351      *   @param  __nu  The order of the Bessel functions.
 352      *   @param  __x   The argument of the Bessel functions.
 353      *   @param  __Jnu  The output Bessel function of the first kind.
 354      *   @param  __Nnu  The output Neumann function (Bessel function of the second kind).
 355      */
 356     template <typename _Tp>
 357     void
 358     __cyl_bessel_jn_asymp(const _Tp __nu, const _Tp __x,
 359                           _Tp & __Jnu, _Tp & __Nnu)
 360     {
 361       const _Tp __coef = std::sqrt(_Tp(2)
 362                              / (__numeric_constants<_Tp>::__pi() * __x));
 363       const _Tp __mu   = _Tp(4) * __nu * __nu;
 364       const _Tp __mum1 = __mu - _Tp(1);
 365       const _Tp __mum9 = __mu - _Tp(9);
 366       const _Tp __mum25 = __mu - _Tp(25);
 367       const _Tp __mum49 = __mu - _Tp(49);
 368       const _Tp __xx = _Tp(64) * __x * __x;
 369       const _Tp __P = _Tp(1) - __mum1 * __mum9 / (_Tp(2) * __xx)
 370                     * (_Tp(1) - __mum25 * __mum49 / (_Tp(12) * __xx));
 371       const _Tp __Q = __mum1 / (_Tp(8) * __x)
 372                     * (_Tp(1) - __mum9 * __mum25 / (_Tp(6) * __xx));
 373
 374       const _Tp __chi = __x - (__nu + _Tp(0.5L))
 375                             * __numeric_constants<_Tp>::__pi_2();
 376       const _Tp __c = std::cos(__chi);
 377       const _Tp __s = std::sin(__chi);
 378
 379       __Jnu = __coef * (__c * __P - __s * __Q);
 380       __Nnu = __coef * (__s * __P + __c * __Q);
 381
 382       return;
 383     }
 384
 385
 386     /**
 387      *   @brief This routine returns the cylindrical Bessel functions
 388      *          of order \f$ \nu \f$: \f$ J_{\nu} \f$ or \f$ I_{\nu} \f$
 389      *          by series expansion.
 390      *
 391      *   The modified cylindrical Bessel function is:
 392      *   @f[
 393      *    Z_{\nu}(x) = \sum_{k=0}^{\infty}
 394      *              \frac{\sigma^k (x/2)^{\nu + 2k}}{k!\Gamma(\nu+k+1)}
 395      *   @f]
 396      *   where \f$ \sigma = +1 \f$ or\f$  -1 \f$ for
 397      *   \f$ Z = I \f$ or \f$ J \f$ respectively.
 398      *
 399      *   See Abramowitz & Stegun, 9.1.10
 400      *       Abramowitz & Stegun, 9.6.7
 401      *    (1) Handbook of Mathematical Functions,
 402      *        ed. Milton Abramowitz and Irene A. Stegun,
 403      *        Dover Publications,
 404      *        Equation 9.1.10 p. 360 and Equation 9.6.10 p. 375
 405      *
 406      *   @param  __nu  The order of the Bessel function.
 407      *   @param  __x   The argument of the Bessel function.
 408      *   @param  __sgn  The sign of the alternate terms
 409      *                  -1 for the Bessel function of the first kind.
 410      *                  +1 for the modified Bessel function of the first kind.
 411      *   @return  The output Bessel function.
 412      */
 413     template <typename _Tp>
 414     _Tp
 415     __cyl_bessel_ij_series(const _Tp __nu, const _Tp __x, const _Tp __sgn,
 416                            const unsigned int __max_iter)
 417     {
 418
 419       const _Tp __x2 = __x / _Tp(2);
 420       _Tp __fact = __nu * std::log(__x2);
 421 #if _GLIBCXX_USE_C99_MATH_TR1
 422       __fact -= std::tr1::lgamma(__nu + _Tp(1));
 423 #else
 424       __fact -= __log_gamma(__nu + _Tp(1));
 425 #endif
 426       __fact = std::exp(__fact);
 427       const _Tp __xx4 = __sgn * __x2 * __x2;
 428       _Tp __Jn = _Tp(1);
 429       _Tp __term = _Tp(1);
 430
 431       for (unsigned int __i = 1; __i < __max_iter; ++__i)
 432         {
 433           __term *= __xx4 / (_Tp(__i) * (__nu + _Tp(__i)));
 434           __Jn += __term;
 435           if (std::abs(__term / __Jn) < std::numeric_limits<_Tp>::epsilon())
 436             break;
 437         }
 438
 439       return __fact * __Jn;
 440     }
 441
 442
 443     /**
 444      *   @brief  Return the Bessel function of order \f$ \nu \f$:
 445      *           \f$ J_{\nu}(x) \f$.
 446      *
 447      *   The cylindrical Bessel function is:
 448      *   @f[
 449      *    J_{\nu}(x) = \sum_{k=0}^{\infty}
 450      *              \frac{(-1)^k (x/2)^{\nu + 2k}}{k!\Gamma(\nu+k+1)}
 451      *   @f]
 452      *
 453      *   @param  __nu  The order of the Bessel function.
 454      *   @param  __x   The argument of the Bessel function.
 455      *   @return  The output Bessel function.
 456      */
 457     template<typename _Tp>
 458     _Tp
 459     __cyl_bessel_j(const _Tp __nu, const _Tp __x)
 460     {
 461       if (__nu < _Tp(0) || __x < _Tp(0))
 462         std::__throw_domain_error(__N("Bad argument "
 463                                       "in __cyl_bessel_j."));
 464       else if (__isnan(__nu) || __isnan(__x))
 465         return std::numeric_limits<_Tp>::quiet_NaN();
 466       else if (__x * __x < _Tp(10) * (__nu + _Tp(1)))
 467         return __cyl_bessel_ij_series(__nu, __x, -_Tp(1), 200);
 468       else if (__x > _Tp(1000))
 469         {
 470           _Tp __J_nu, __N_nu;
 471           __cyl_bessel_jn_asymp(__nu, __x, __J_nu, __N_nu);
 472           return __J_nu;
 473         }
 474       else
 475         {
 476           _Tp __J_nu, __N_nu, __Jp_nu, __Np_nu;
 477           __bessel_jn(__nu, __x, __J_nu, __N_nu, __Jp_nu, __Np_nu);
 478           return __J_nu;
 479         }
 480     }
 481
 482
 483     /**
 484      *   @brief  Return the Neumann function of order \f$ \nu \f$:
 485      *           \f$ N_{\nu}(x) \f$.
 486      *
 487      *   The Neumann function is defined by:
 488      *   @f[
 489      *      N_{\nu}(x) = \frac{J_{\nu}(x) \cos \nu\pi - J_{-\nu}(x)}
 490      *                        {\sin \nu\pi}
 491      *   @f]
 492      *   where for integral \f$ \nu = n \f$ a limit is taken:
 493      *   \f$ lim_{\nu \to n} \f$.
 494      *
 495      *   @param  __nu  The order of the Neumann function.
 496      *   @param  __x   The argument of the Neumann function.
 497      *   @return  The output Neumann function.
 498      */
 499     template<typename _Tp>
 500     _Tp
 501     __cyl_neumann_n(const _Tp __nu, const _Tp __x)
 502     {
 503       if (__nu < _Tp(0) || __x < _Tp(0))
 504         std::__throw_domain_error(__N("Bad argument "
 505                                       "in __cyl_neumann_n."));
 506       else if (__isnan(__nu) || __isnan(__x))
 507         return std::numeric_limits<_Tp>::quiet_NaN();
 508       else if (__x > _Tp(1000))
 509         {
 510           _Tp __J_nu, __N_nu;
 511           __cyl_bessel_jn_asymp(__nu, __x, __J_nu, __N_nu);
 512           return __N_nu;
 513         }
 514       else
 515         {
 516           _Tp __J_nu, __N_nu, __Jp_nu, __Np_nu;
 517           __bessel_jn(__nu, __x, __J_nu, __N_nu, __Jp_nu, __Np_nu);
 518           return __N_nu;
 519         }
 520     }
 521
 522
 523     /**
 524      *   @brief  Compute the spherical Bessel @f$ j_n(x) @f$
 525      *           and Neumann @f$ n_n(x) @f$ functions and their first
 526      *           derivatives @f$ j'_n(x) @f$ and @f$ n'_n(x) @f$
 527      *           respectively.
 528      *
 529      *   @param  __n  The order of the spherical Bessel function.
 530      *   @param  __x  The argument of the spherical Bessel function.
 531      *   @param  __j_n  The output spherical Bessel function.
 532      *   @param  __n_n  The output spherical Neumann function.
 533      *   @param  __jp_n  The output derivative of the spherical Bessel function.
 534      *   @param  __np_n  The output derivative of the spherical Neumann function.
 535      */
 536     template <typename _Tp>
 537     void
 538     __sph_bessel_jn(const unsigned int __n, const _Tp __x,
 539                     _Tp & __j_n, _Tp & __n_n, _Tp & __jp_n, _Tp & __np_n)
 540     {
 541       const _Tp __nu = _Tp(__n) + _Tp(0.5L);
 542
 543       _Tp __J_nu, __N_nu, __Jp_nu, __Np_nu;
 544       __bessel_jn(__nu, __x, __J_nu, __N_nu, __Jp_nu, __Np_nu);
 545
 546       const _Tp __factor = __numeric_constants<_Tp>::__sqrtpio2()
 547                          / std::sqrt(__x);
 548
 549       __j_n = __factor * __J_nu;
 550       __n_n = __factor * __N_nu;
 551       __jp_n = __factor * __Jp_nu - __j_n / (_Tp(2) * __x);
 552       __np_n = __factor * __Np_nu - __n_n / (_Tp(2) * __x);
 553
 554       return;
 555     }
 556
 557
 558     /**
 559      *   @brief  Return the spherical Bessel function
 560      *           @f$ j_n(x) @f$ of order n.
 561      *
 562      *   The spherical Bessel function is defined by:
 563      *   @f[
 564      *    j_n(x) = \left( \frac{\pi}{2x} \right) ^{1/2} J_{n+1/2}(x)
 565      *   @f]
 566      *
 567      *   @param  __n  The order of the spherical Bessel function.
 568      *   @param  __x  The argument of the spherical Bessel function.
 569      *   @return  The output spherical Bessel function.
 570      */
 571     template <typename _Tp>
 572     _Tp
 573     __sph_bessel(const unsigned int __n, const _Tp __x)
 574     {
 575       if (__x < _Tp(0))
 576         std::__throw_domain_error(__N("Bad argument "
 577                                       "in __sph_bessel."));
 578       else if (__isnan(__x))
 579         return std::numeric_limits<_Tp>::quiet_NaN();
 580       else if (__x == _Tp(0))
 581         {
 582           if (__n == 0)
 583             return _Tp(1);
 584           else
 585             return _Tp(0);
 586         }
 587       else
 588         {
 589           _Tp __j_n, __n_n, __jp_n, __np_n;
 590           __sph_bessel_jn(__n, __x, __j_n, __n_n, __jp_n, __np_n);
 591           return __j_n;
 592         }
 593     }
 594
 595
 596     /**
 597      *   @brief  Return the spherical Neumann function
 598      *           @f$ n_n(x) @f$.
 599      *
 600      *   The spherical Neumann function is defined by:
 601      *   @f[
 602      *    n_n(x) = \left( \frac{\pi}{2x} \right) ^{1/2} N_{n+1/2}(x)
 603      *   @f]
 604      *
 605      *   @param  __n  The order of the spherical Neumann function.
 606      *   @param  __x  The argument of the spherical Neumann function.
 607      *   @return  The output spherical Neumann function.
 608      */
 609     template <typename _Tp>
 610     _Tp
 611     __sph_neumann(const unsigned int __n, const _Tp __x)
 612     {
 613       if (__x < _Tp(0))
 614         std::__throw_domain_error(__N("Bad argument "
 615                                       "in __sph_neumann."));
 616       else if (__isnan(__x))
 617         return std::numeric_limits<_Tp>::quiet_NaN();
 618       else if (__x == _Tp(0))
 619         return -std::numeric_limits<_Tp>::infinity();
 620       else
 621         {
 622           _Tp __j_n, __n_n, __jp_n, __np_n;
 623           __sph_bessel_jn(__n, __x, __j_n, __n_n, __jp_n, __np_n);
 624           return __n_n;
 625         }
 626     }
 627
 628   } // namespace std::tr1::__detail
 629 }
 630 }
 631
 632 #endif // _GLIBCXX_TR1_BESSEL_FUNCTION_TCC